Historia de las Matemáticas

Versión para imprimir: | Volver a Divulgamat

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646- 1716)

  Leibniz

El padre de Leibniz era jurista y profesor de moral en la universidad de Leipzig, ciudad donde nació Gottfried, quien, aunque nunca fue muy fervoroso, abogó toda su vida por la reunificación de las iglesias. No obstante tanto la familia como su entorno eran luteranos. Aquella posición, el irenismo, como se llamaba en su época, tenía connotaciones políticas tanto como religiosas, pues pretendía asimismo la unificación de los 350 estados en los que estaba dividida Alemania. Precisamente, una de las características más originales de Leibniz es su propósito de sintetizar y conciliar las opiniones y concepciones más opuestas en todos los ámbitos del pensamiento.

Su padre murió cuando él tenía sólo 6 años y le quedó en herencia la amplia biblioteca privada de su padre, de la que se sirvió libremente, de forma que Leibniz fue en gran medida autodidacta, hasta el punto de que a los ocho años ya leía en latín a Tito Livio. Siempre fue más aficionado a la lectura y el pensamiento que a las actividades físicas. El latín fue una de sus lenguas favoritas así como el francés, y en ellas dos están redactados casi todos sus escritos filosóficos o científicos. También abogó por el desarrollo de la lengua alemana.

Desde sus primeros escritos manifiesta su interés por las matemáticas y por la aplicación de las mismas al conocimiento en todos los niveles. Su Dissertatio de Arte Combinatoria, editada en 1666, aparece como consecuencia de sus estudios en la universidad de Leipzig en las áreas de filosofía, historia, matemáticas y derecho, y en ese escrito se encuentran buena parte de sus ideas fundamentales sobre combinatoria y algunas de sus reglas básicas o método de investigación científica, que él llamó el Arte de Inventar.

Tras rechazar un puesto de profesor en la universidad de Altdorf comenzó a viajar y a buscar una posición en la carrera jurídica y política, que en 1668 le ofrecerá el ministro de Maguncia, Christian von Boineburg. Gracias a él se trasladará a París, en principio con una misión diplomática, pero de hecho la etapa que pasó en esa ciudad fue una de las más fructíferas de su carrera como matemático y de su formación intelectual en general. En París estuvo casi cuatro años y la muerte de Boineburg en 1673 supuso un golpe para su situación económica, lo que le obligó a regresar a Hannover.

En París conoció los manuscritos de Descartes, Roberval o Pascal, también trabó relación con Huygens, que le introdujo en el mundo de las matemáticas que entonces estaban de moda entre los grandes de la época. De ese modo descubrió su cálculo de las diferencias, la cuadratura aritmética, se inició en el cálculo de probabilidades y se relacionó con cuanto personaje de calidad se puso a su alcance. Construyó su propia Máquina Aritmética que, a diferencia de la de Pascal, no sólo sumaba y restaba sino que dividía, multiplicaba e incluso extraía raíces cuadradas.

Intentó por todos los medios que le admitieran como miembro de la Academia de Ciencias francesa, pero al no ser católico se encontró con muchos impedimentos. En esta etapa entabla también relaciones con los científicos ingleses y fue admitido como miembro de la Royal Society.

Todos sus esfuerzos para permanecer en París fueron en vano y se vio obligado a aceptar un empleo como bibliotecario de la Casa de Hannover, con el encargo de escribir asimismo la historia de la familia.

A partir de 1700 su situación económica y social mejora bastante pues es nombrado presidente de la Academia de Ciencias de Brandemburgo, puesto subvencionado con 600 táleros al año, a la vez que veía hacerse realidad uno de sus sueños, la constitución en todos los países de sociedades científicas que pudieran llevar a cabo conjuntamente grandes proyectos, para los que él mismo aportaba un buen número de sugerencias: Característica Universal, Lengua Racional, experimentos químicos y médicos, inventos técnicos, etc. Además en esos años llega a ser consejero del Emperador de Austria y del Zar de Rusia. De hecho a partir de entonces su situación económica siguió siendo desahogada hasta su muerte.

Su forma de trabajar era también muy peculiar: leía muchísimo y sobre todo escribía sin parar; de hecho, pensaba escribiendo y aunque sus publicaciones son escasas, el volumen de manuscritos que dejó a su muerte es ingente y su publicación está en la actualidad muy lejos de completarse, a pesar de los esfuerzos conjuntos de innumerables especialistas.

No obstante, su relación privilegiada con la casa de Hannover se rompe en 1705 con la muerte de su protectora la princesa Sofía Carlota y las intrigas de la corte comienzan a jugar en su contra de forma que sus relaciones internacionales, su polémica con los discípulos ingleses de Newton y sus viajes fuera de Hannover van minando su posición y cuando el duque Jorge es nombrado en 1714 rey de Inglaterra, lejos de llevarle con él como uno de los hombres más prestigiosos de Europa, le ordena permanecer en Hannover y continuar escribiendo la historia de la familia. En 1716 su salud empeora rápidamente muriendo el 13 de noviembre.


Tras su muerte la injusticia cometida con él por la corte de Hannover continuó, pues guardaron sus escritos en los Archivos, impidiendo la difusión de sus ideas durante casi todo el siglo XVIII. A los cincuenta años de su muerte se levantó el veto y se comenzaron a publicar sus escritos y su correspondencia, con enormes dificultades debido a la gran variedad de los temas, su profunda interrelación y su enorme volumen.

Leibniz: Acta EruditorumEn el campo de las matemáticas, los estudios juveniles de Leibniz estuvieron dedicados sobre todo a la Aritmética: combinatoria, propiedades de los números, triángulo de Pascal, etc. Y sus primeras aportaciones también son en ese campo: fórmulas de análisis combinatorio, descubrimiento de los determinantes, estudio de la suma de series, etc. Uno de sus hallazgos es el valor de pi/4. También estudia el triángulo armónico y sus propiedades.

A partir de su estancia en París y su relación con Huygens estudiará los Elementos de Euclides y la Geometría de Descartes, al que criticará en muchas ocasiones, entre otras cosas por excluir de su geometría algunas curvas como las que tienen exponentes funcionales.
También se interesa por el cálculo de probabilidades, que en sus primeros escritos sobre derecho había mencionado como uno de los instrumentos más útiles para la investigación de lo contingente. Como subraya Belaval, uno de los grandes especialistas en Leibniz, ya había tenido la idea de un alfabeto de los pensamientos humanos meditando sobre Aristóteles, había desarrollado la idea con Bacon (las formas de primera clase semejantes a las letras del alfabeto), con Weigel y Hobbes (pensar, es calcular), con Buteo (las cadenas de combinaciones), con Cardano (la lógica de lo probable), Raimond Llull es entonces reeditado en toda Europa y Kircher acaba de publicar su texto Polygraphia nova et universales ex combinatoria detecta (1663). Como colofón a sus estudios de derecho había presentado Leibniz, en julio de 1665, la tesis o Disputatio Juridica De Conditionibus y en agosto una Disputatio Posterior, donde sostiene que las demostraciones o pruebas en derecho tendrían que tener un rigor matemático y proponiendo, en el caso de los juicios hipotéticos, el cálculo de probabilidades y el cálculo de los juicios, a pesar de que sus conocimientos matemáticos entonces no eran suficientes para realizarlos por sí mismo. Por fin, en marzo de 1666, sostiene la Disputatio Aritmética de Complexionibus, que formará parte de su Arte Combinatoria que como hemos dicho, publicó ese mismo año, a los 20 años de edad. La tesis de este escrito es que nuestros conceptos están compuestos de ideas simples, cuyo número no puede ser muy grande, como sucede con las letras del alfabeto o con los factores primos.

Estas ideas simples o primitivas constituyen los términos de primer orden (1. el punto; 2. el espacio; 3. “situado entre”; 9. la parte; 10. el todo; 14. el número; 15. la pluralidad, etc.). Combinándolas dos a dos (com2natio) se obtienen los términos de segundo orden, por ejemplo el número de las partes es la cantidad. Combinándolas de tres en tres tenemos las com3natio, por ejemplo el espacio tomado en un todo (2,3,10) es el intervalo y así sucesivamente. Recíprocamente, separando un término en sus factores primos, se pueden resolver problemas. De este modo la combinatoria se podría aplicar, como señala Leibniz a la lógica, la aritmética, la astronomía, la química, la medicina, la acústica, la jurisprudencia… A pesar de estos trabajos, el grado de doctor se le niega en Brunschwick a las jóvenes promociones, de manera que Leibniz se graduará finalmente en Altdorf el 15 de noviembre de 1666 con su trabajo De Casibus Perplexis in Jure, en el que desarrolla estas ideas aplicadas al derecho.

Pero Leibniz es conocido mundialmente sobre todo como inventor del Cálculo Diferencial, aunque ese descubrimiento se vio en su tiempo empañado por la injusta acusación de plagio por parte de algunos discípulos de Newton, acusación en la que se implicó el propio Newton. Hoy todos los estudiosos saben que ambos desarrollaron paralelamente el cálculo sin plagiarse. De hecho, la visión de Newton es más bien física, como lo atestigua su título de cálculo de fluxiones, mientras que la visión de Leibniz es sobre todo matemática.

Nova methodus pro maximis et minimis Leibniz ya había desarrollado los principales aspectos del cálculo infinitesimal hacia 1676, al final de su estancia en París, y publicará en 1684 su primer artículo sobre el tema, en las Acta Eruditorum: “Nova methodus pro maximis et minimis”, donde proponía un método nuevo para calcular las tangentes a una curva y también los máximos y mínimos de la misma. Allí define lo que llama differentia o diferencial y lo escribe ya con la notación que perdurará, dx. También establece las reglas principales de cálculo con diferenciales, adición, sustracción, multiplicación y división, aunque sin dar las demostraciones. Y en cuanto al comportamiento local de las curvas, define la concavidad, convexidad y puntos de inflexión, lo que le lleva a definir las diferencias de segundo grado, que llama differentiae differentiarum. Su método, como él mismo señala, resulta superior a los existentes en esos momentos, no es geométrico, sino una forma de calcular con símbolos.
En junio de 1686 Leibniz publica un segundo artículo en Acta Eruditorum, con el título “De geometría recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum” donde trataba el problema inverso de las tangentes y el cálculo de las cuadraturas mediante su nuevo método, y mostraba que la diferenciación y la integración son operaciones recíprocas, introduciendo el símbolo I para la summation, pues el término integral no se emplea por primera vez hasta 1690, gracias a Jacques Bernoulli.
No obstante, estos logros no tendrán demasiada acogida y pasarán inadvertidos hasta 1690, cuando Bernoulli publica en las Acta Eruditorum un artículo en el que se emplea el nuevo cálculo para resolver el problema de la curva isócrona. Los hermanos Bernoulli continuaron desarrollando el nuevo cálculo y será Jean quien en 1691 se lo enseñará al Marquis de l’Hospital, que publicaría el primer tratado sobre cálculo diferencial en 1696. Como l’Hospital diría:

“Debo hacer aquí justicia (como la ha hecho el señor Leibnitz, en el Journal des Sçavans de agosto 1694) que el sabio Sir Isaac Newton descubrió igualmente algo como el Calculus Differentialis, que aparece en su excelente Principia, publicado primero en el año 1687, que depende casi totalmente del uso del mencionado Calculus. Pero el método del señor Leibnitz es mucho más fácil y expeditivo gracias a la notación que utiliza, por no mencionar la maravillosa asistencia que presta en muchas ocasiones.”

Efectivamente, la simbología matemática que ahora utilizamos es en buena parte debida a Leibniz: diferenciales primeras y segundas, integral, infinitesimales, etc. Introduce el término de función y señala que integral y derivada son dos operaciones inversas. Introduce el sistema binario de numeración, de innumerables aplicaciones posteriores, y tantos otros avances que ahora vamos descubriendo al descifrar sus manuscritos inéditos.

BIBLIOGRAFÍA

Las ediciones de Leibniz son muy numerosas, pero nos limitaremos aquí a sus escritos matemáticos. Por supuesto, los lectores interesados pueden acceder a sus manuscritos inéditos, poniéndose en contacto con la G.W. Leibniz Gessellschaft en Hannover
www.nlb-hannover.de/Leibniz o con www.gwleibniz.de en Berlín.

Los textos matemáticos publicados por su autor en vida son muy pocos. Aparte los ya citados de las Acta Eruditorum:

_____ : Dissertatio arithmetica de complexionibus, 1666. Mathematische Schriften, hrsg. Gerhardt (1849-63), Olms, Hildesheim, 1962.

______ : “Extrait d’une lettre de M. Leibniz, écrite d’Hanovre à l’Auteur du Journal, touchant la Quadrature d’une portion de la Roulette », Journal des Sçavans, Lundy, 23 mai 1678. En Dutens, III, 139. En G.M. V, 116-117.

_____ : "G.G.L. Meditatio Juridico-Mathematica de Interusurio simplice", Act. Erud., m. Oct. 1683, 425-32. En Dutens, III, 151-158. En G.M., VII, 125-133.

En cuanto a las ediciones póstumas de sus obras, la edición de la Academia de Berlín es la más ambiciosa, comenzada en 1923, con siete series: la Reihe I: Correspondencia general política e histórica; la Reihe II: Correspondencia filosófica; la Reihe III: Correspondecia matemática, de ciencias naturales y técnica; la Reihe IV: Escritos políticos; la Reihe V: Escritos históricos; la Reihe VI: Escritos filosóficos y la Reihe VII: Escritos matemáticos, de la que se han publicado tres volúmenes.

Otras ediciones más manejables y de gran prestigio aunque de una parte pequeña de la ingente obra, son las de Gerhardt

_____: 1713-1716. Lettres à Montmort. En Die Philosophischen Schriften, vol. III. C.J. Gerhardt (ed.), pp. 597-678. Berlin: Weidmannsche Buchhandlung, 1887. Reedición Hildesheim: Olms, 1965.

_____ 1849-1863. Mathematische Schriften, C.J. Gerhardt (ed.) 7 vol. London: D.Natt, Berlin: A. Asher, Halle: H.W. Schmidt. Reedición Hildesheim: Olms, 1989.

_____ : Der Briefwechsel von G.W.Leibniz mit Mathematikern, hrsg. C.I. Gerhardt, Olms, Hildesheim, 1899, 1962.

Y algunas de las más conocidas y/o fáciles de encontrar:

Tullio Ascarelli : Hobbes - Leibniz, traduc. francesa Ducouloux & Favard, Ed. Dalloz, Paris, 1966. En esta edición se encuentran:

Leibniz: Specimen quaestionum philosophicarum ex jure collectarum, 1664.
- : Doctrina conditionum, 1663-67.
- : De casibus perplexis, 1666. Su tesis doctoral.
- : De interpretatione, 1670.
Tomados de la edición: G.W. Leibniz, Samtliche Schriften und Briefe, Preuss. Akad. der Wiss., Darmstadt, 1930, VI, I 69s., 231s., 369s.
Alexander, H.G.: The Leibniz-Clarke Correspondence, Manchester U.Press, 1956.

Bourgage, F.& Chouchan, N.: Leibniz et l'infini, Paris, PUF, 1993.

Chauve, Alain: Leibniz. Les deux labyrinthes, textes choisis, Paris, PUF, 1973.

Couturat, Louis (ed.): Leibniz, Opuscules et fragments inédits, Paris, 1903. Alcan. Reedición Hildesheim: Olms. 1961.

Deleuze, Gilles: Le Pli. Leibniz et le Baroque, Paris, Minuit, 1988.

Grua, G.: Leibniz: Textes inédits, Paris, PUF, 2 vol., 1948.

Lamarra, Antonio (ed.): L'infinito in Leibniz. Problemi e terminologia, Simposio Internazionale, Roma, 1986.

Ezequiel de Olaso (ed.): Escritos de Leibniz, ed. Antonio Machado, Madrid, 2003.

Entre las biografías de Leibniz hay algunas en español, otras en inglés o alemán. Las más conocidas:

E.J. Aiton: Leibniz. A Biography, 1985, Hilger Ltd. Boston. Trad. Esp. Alianza
Universidad, Madrid, 1992.

Javier Echeverría: Leibniz. El autor y su obra , 1981, Barcanova, Madrid.

G.E. Gurhauer: G.W.Freiherr von Leibniz, Eine Biographie, 1842 Breslau, Olms, 1966.
Trad inglesa J.M. Makie, 1845.

Joseph E. Hofmann: Leibniz in Paris, 1974, Cambridge U.P.

Kart Müller & Gisela Krönert: Leben und Werk von G.W. Leibniz. Eine Kronik, 1969,
Klostermann, Frankfurt am Main
Volver a Divulgamat


 
   
 
    Autor
Mary Sol de Mora