Historia de las Matemáticas

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Carl Friedrich Gauss

  “El príncipe de los matemáticos”

No es exagerado este título póstumo, Príncipe de los Matemáticos, acuñado en una moneda, con que el rey Jorge V de Hannover honró a Gauss tras su muerte. Según E.T Bell, y es una opinión compartida por la mayoría de los historiadores de la ciencia, Gauss junto a Arquímedes y Newton ocuparía el podium de los grandes genios de las matemáticas a lo largo de la Historia.
No se puede entender el avance y la revolución de las matemáticas del
siglo XIX sin la mítica figura de Gauss. Su figura ilumina de forma
completa la primera mitad del siglo. Sus aportaciones se producen en
todos los campos de las matemáticas, tanto puras - Teoría de Números, Análisis, Geometría - como aplicadas - Astronomía, Geodesia, Teoría de
errores - y en Física -Magnetismo, Óptica, Teoría del potencial...
Este gran matemático alemán llevó las Matemáticas del siglo XIX a cumbres insospechadas unas décadas antes y elevó la Aritmética Superior a la cima de las Matemáticas, citando sus propias palabras, "las matemáticas son la reina de las ciencias y la aritmética la reina de las matemáticas" .

La apacible vida de un genio precoz

El 4 de mayo de 1777 el viejo párroco de la iglesia de Wendengraben, en Brunswick, Alemania, procede a inscribir en el registro parroquial al más reciente de sus nuevos feligreses: Johann Friedrich Carl; se trata de un niño varón, nacido cuatro días antes, el último día del mes de abril, el hijo de un humilde matrimonio, la pareja formada por Geghard Dietrich Gauss y Dorothea Benze, ambos de 33 años.
Con el paso de los años, este niño abandonará su primer nombre Johann y será conocido en toda Europa como Carl Freidrich Gauss, así es como firmará sus obras.


Su padre, Geghard Dietrich, desempeñó a lo largo de su vida los oficios manuales más diversos: jardinero, como su padre, matarife, albañil, mantenedor de los canales de riego de la ciudad, maestro constructor de fuentes y hasta cajero de una sociedad de seguros y pompas fúnebres. Dorothea, su madre, nació en Velpke, una aldea próxima a Brunswick. Su padre era cantero y murió de tuberculosis a la edad de treinta años, dejando a la familia en una situación precaria. Dorothea tuvo que emigrar a Brunswick, junto a su hermano Friedrich, cuando contaba 26 años para trabajar de criada. Esta fue su ocupación hasta que en 1776 contrajo matrimonio con el versátil Geghard, que había enviudado unos años antes.

En el seno de esta humilde familia, muy alejada de los salones ilustrados de la nobleza germana, el joven Gauss va a dar muestras tempranas de su genio precoz. Él mismo, ya anciano, acostumbraba a alardear de haber aprendido a contar antes que a escribir y de haber aprendido a leer por sí mismo, deletreando las letras de los nombres de los parientes y amigos de la familia. Y a él le debemos el relato de la anécdota que le coloca como el más precoz de los matemáticos. Cuando tenía tan sólo tres años, una mañana de un sábado de verano, cuando su padre procedía a efectuar las cuentas para abonar los salarios de los operarios a su cargo, el niño le sorprende afirmando que la suma está mal hecha y dando el resultado correcto. El repaso posterior de Gerhard dio la razón al niño. Nadie le había enseñado los números y mucho menos a sumar

“Ligget se!” (¡Aquí está!)

A los siete años, tras serios esfuerzos de Dorothea para convencer al padre, Gauss ingresa en la escuela primaria, una vieja escuela, la Katherinen Volkschule, dirigida por J.G Büttner, donde compartirá aula con otros cien escolares. La disciplina férrea parecía ser el único argumento pedagógico de Büttner, y de casi todos los maestros de la época.

A los nueve años Gauss asiste a su primera clase de Aritmética. Büttner propone a su centenar de pupilos un problema terrible: calcular la suma de los cien primeros números. Nada más terminar de proponer el problema, el jovencito Gauss traza un número en su pizarrín y lo deposita en la mesa del maestro exclamando: “Ligget se!” (¡Ahí está!). Había escrito 5.050. La respuesta correcta.

Ante los ojos atónitos de Büttner y del resto de sus compañeros, Gauss había aplicado, por supuesto sin saberlo, el algoritmo de la suma de los términos de una progresión aritmética. Se había dado cuenta de que la suma de la primera y la última cifra daba el mismo resultado que la suma de la segunda y la penúltima, etc., es decir: 1+ 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... = 101
Como hay 50 parejas de números de esta forma el resultado se obtendrá multiplicando 101 . 50 = 5.050

“Ligget se!”

Büttner tenía un ayudante, un joven estudiante de 17 años, Martin Bartels, que se encargaba de las clases de escritura de los más pequeños. Pero, por suerte para Gauss y para la ciencia, Bartels era una amante de las matemáticas, y un buen matemático, que acabó obteniendo una cátedra en la universidad de Kazan en la que dio clases de 1808 a 1820 teniendo como alumno a Lobachevski. A pesar de la diferencia de edad, Gauss tenía 10 años, juntos se iniciaron en los caminos de las matemáticas. En los libros de Bartels, Gauss se familiarizó con el binomio de Newton para exponentes no enteros y con las series infinitas e inició los primeros pasos por el análisis.

Con 11 años de edad Gauss dejará la Katherinen Volkschule para ingresar en el Gymnasium Catharineum, a pesar de las reticencias de su padre a que continúe sus estudios. Allí estudia latín y griego y al cabo de dos años accede al grado superior de la enseñanza secundaria. Su fama se empieza a extender por los círculos cultivados de Brunswick y llegará a oídos del duque Karl Wilhelm Ferdinand (1735-1806). Así, en 1791, apadrinado por E.A.W. Zimmerman (1743-1815), profesor de Collegium Carolinum y consejero provincial del duque, éste le recibe en audiencia. Gauss es un adolescente de 14 años que deja impresionado al anciano duque con su habilidad de cálculo. El duque le proporcionará los fondos para que pueda proseguir su formación y le regalará las tablas de logaritmos elaboradas por Johann Carl Schulze.

El 18 de febrero de 1792, antes de cumplir los 15 años hace su inscripción en el Collegium Carolinum de Brunswick. En este colegio da clases de matemáticas y ciencias naturales E. A W. Von Zimmermann (1743-1815) su valedor ante el duque

Gauss permanecerá en él hasta 1795, estudiando lenguas clásicas, literatura, filosofía y, por supuesto, matemáticas superiores, siendo un alumno brillante en todas ellas. Entre sus lecturas de matemáticas de esta época están los Principia Mathematica de Newton, el Ars Conjectandi de Jackob Bernoulli y algunas de las memorias de Euler. En el Collegium Carolinum Gauss iniciará alguna de sus futuras investigaciones matemáticas, según sus propias confesiones posteriores, como la distribución de los números primos o los fundamentos de la geometría

Cuando en el otoño de 1795 se traslada a la Universidad Georgia Augusta de Göttingen, con una beca del Duque. Gauss aún no ha decidido su futuro académico dudando entre los estudios de Filología clásica y las Matemáticas. Las lecciones de matemáticas, no muy buenas según la opinión de Gauss; las impartía el anciano profesor Gotthelf Abraham Kästner que tenía entonces 76 años.

En esta época conoce a Wolfgang (Farkas) Bolyai, que se incorporó a la universidad un año después que él. Gauss, unos años más tarde llegó a afirmar: “Bolyai fue el único que supo interpretar mis criterios metafísicos sobre las Matemáticas”. Y también que Bolyai fue el “espíritu más complicado que jamás conocí”

Bolyai es más explícito al hablar de su amistad: “Nos unía la pasión por las Matemáticas y nuestra conciencia moral, y así paseábamos durante largas horas en silencio, cada uno ocupado en sus propios pensamientos”

Construcción con regla y compás del polígono regular de 17 lados

Desde su llegada a Göttingen el joven Gauss siguió desarrollando de forma autónoma sus investigaciones sobre números que había iniciado en el Collegium. Sin duda más fruto de estas investigaciones que de las enseñanzas de Kästner, cuando Gauss estaba en su casa de Brunswick, se va a producir un descubrimiento que será clave, no sólo en la carrera de Gauss, sino en el futuro de las matemáticas: el heptadecágono, el polígono regular de 17 lados se puede construir con regla y compás. (Construcción )

Él mismo, muchos años más tarde, recordará el momento, en una carta que dirige a Gerling fechada el 6 de enero de 1819:

“Fue el día 29 de marzo de 1796, durante unas vacaciones en Brunswick, y la casualidad no tuvo la menor participación en ello ya que fue fruto de esforzadas meditaciones; en la mañana del citado día, antes de levantarme de la cama, tuve la suerte de ver con la mayor claridad toda esta correlación, de forma que en el mismo sitio e inmediatamente apliqué al heptadecágono la correspondiente confirmación numérica.”

Gauss Cuadernos
El día siguiente, el 30 de marzo, justo un mes antes de cumplir los 19 años, Gauss se decantará definitivamente por las matemáticas y hará su primera anotación en su diario de notas, un pequeño cuaderno de 19 páginas, que acompañará a Gauss hasta 1814, el diario científico más importante de la historia de las matemáticas, en el que irá anotando, a veces de forma críptica, los resultados matemáticos que le vienen a la cabeza, en total 144 anotaciones. Por este diario desfilará un alto porcentaje de los descubrimientos matemáticos del siglo XIX. En este libro no fueron recogidos todos los descubrimientos de Gauss en el período prolífico de 1796 a 1814. Pero muchos de los anotados bastarían para establecer la prioridad de Gauss en campos, donde algunos de sus contemporáneos se niegan a creer que Gauss les precediera.

Muchos hallazgos que quedaron enterrados durante décadas en este diario habrían encumbrado a media docena de grandes matemáticos de haber sido publicados. Algunos jamás se hicieron públicos durante la vida de Gauss, y nunca pretendió la prioridad cuando otros autores se le anticiparon. Sus anotaciones constituían descubrimientos esenciales de la Matemática del siglo XIX. Un documento que por desgracia para la ciencia no verá la luz hasta casi 50 años después de la muerte de Gauss

“Principia quibus innititur sectio circuli, ac divisibilitas eiusdem geometrica in septemdecim partes, etc. Mart. 30 Brunsv.”

Con tan sólo 18 años, el joven Gauss había hecho un descubrimiento que por sí solo le habría hecho pasar a la historia de las matemáticas. Un descubrimiento que constituía sólo la punta del iceberg de una teoría mucho más amplia que dará origen tres años más tarde a las Disquisitiones Arithmeticae, obra que Gauss va madurando durante su estancia en la universidad de Gottingën

Al terminar sus estudios Gauss deja de percibir la subvención del duque y regresa a la casa de sus padres en Brunswick. Por fortuna la situación no duró mucho tiempo. A principios de 1799 el duque le renueva su apoyo económico con la misma cuantía que cuando estaba estudiando. Esto le va a permitir continuar sin preocupaciones monetarias con sus investigaciones matemáticas, en concreto ultimar la obra que recogía todas sus conclusiones sobre los números, las Disquisitiones Arithmeticae. Ahora nos explicamos el encendido prefacio de Gauss manifestando su sincero agradecimiento al duque Karl Wilhelm Ferdinand. Gauss siempre fue una persona agradecida al duque, al fin y al cabo la persona que había hecho posible recibir una formación alejada de sus posibilidades familiares

El Teorema Fundamental del Álgebra

Pero los estímulos del duque no acabaron aquí, él mismo sufragará los gastos para que Gauss obtenga el doctorado en filosofía en la universidad de Helmstedt. Gauss leerá su tesis “in absentia” y dispensado del examen oral. El título de su tesis: Demonstratio nova theoremattis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus posse, (Nueva demostración del teorema que dice que toda función algebraica racional puede descomponerse en factores de primer o segundo grado con coeficientes reales).

El título contiene un ligero error que hará aún más grande al joven Gauss. No es una nueva demostración, es la primera demostración completa de la historia del Teorema fundamental del álgebra. El sueño del gran Euler. El presidente del tribunal es el mejor matemático germano de la época, Johann Friedrich Pfaff.

Que este teorema cautivó a Gauss lo demuestra el hecho de que realizara tres demostraciones más del mismo. La segunda en 1815, basada en las ideas de Euler, rehuye los planteamientos geométricos y es el primer intento serio de una demostración exclusivamente algebraica. En la de 1816 ya utiliza expresamente los números complejos y de paso realiza una crítica a los intentos de otros matemáticos basados en métodos analíticos. La última demostración realizada en 1849 con motivo del cincuentenario de su tesis, es muy similar a la primera, pero en ella Gauss extiende el campo de variación de los coeficientes a los números complejos

1801. Un año glorioso

El primer año del siglo XIX va a ser testigo del ascenso del joven Gauss, que cuenta con 24 años, a las más altas cimas de la matemática europea con el reconocimiento de toda la comunidad científica. Sus dos cartas de presentación: la publicación de las Disquisitiones Arithmeticae y el cálculo de la órbita de Ceres

Disquisitiones arithmeticae

Gauss inicia sus investigaciones sobre teoría de números durante su estancia en el Collegium Carolinum, en 1795. Pero acomete la elaboración de las Disquisitiones a lo largo de su estancia en la Universidad de Göttingen entre 1795 y 1798. Lo sabemos gracias a su diario científico en el que ya en 1796 aparecen dos de sus resultados más brillantes: la descomposición de todo número entero en tres triangulares y la construcción del heptadecágono regular. Ambos recogidos en las Disquisitiones

A finales de 1798 Gauss entregará el manuscrito a un editor de Leipzig, pero dificultades económicas retrasarán la publicación hasta el verano de 1801

Con las Disquisitiones, Gauss da una nueva orientación a la Teoría de Números, dejando de ser ésta una acumulación de resultados anecdóticos aislados para convertirse en una rama de las matemáticas tan importante como el análisis o la geometría

En el prefacio, Gauss explica el contenido de esta obra, advirtiendo que tratará sobre los números enteros, excluyendo a menudo los fraccionarios y siempre a los irracionales, los sordos como se les conocía hasta entonces. Su discurso tratará no de los temas de numerar y calcular, de los que se dedica la Aritmética elemental, sino de los aspectos propios de los números enteros de los que se ocupa la Aritmética Superior. En él afirma que en esa época desconocía muchos de los resultados contemporáneos:

“desconocía todas las que habían sido elaboradas por los más modernos en este campo y estaba privado de todos los recursos mediante los cuales habría podido ayudarme un poco en estas cuestiones”.

Las Disquisitiones están organizadas en siete secciones:

1. Números congruentes en general
2. Congruencias de primer grado
3. Residuos de potencias
4. Congruencias de segundo grado
5. Formas y ecuaciones indeterminadas de segundo grado
6. Aplicaciones de las nociones anteriores
7. Ecuaciones de las secciones de un círculo.

Un gran descubrimiento, una conquista revolucionaria de notación aritmética: las congruencias
Dados dos números enteros a y b si su diferencia (a - b ó b - a) es exactamente divisible por el número m, decimos que a, b son congruentes respecto al módulo m , y simbolizamos esto escribiendo a ??b (mód m ) Así, 100 ??2 (mód 7), 35 ??2(mód 11). ?

Dados dos números enteros a y b si su diferencia (a - b ó b - a) es exactamente divisible por el número m, decimos que a, b son congruentes respecto al módulo m , y simbolizamos esto escribiendo a ??b (mód m ) Así, 100 ??2 (mód 7), 35 ??2(mód 11).

La ventaja de esta notación es que recuerda la forma en que escribimos las ecuaciones algebraicas, trata la divisibilidad aritmética con una breve notación y permite "sumar, restar, multiplicar… congruencias", con tal de que el módulo sea el mismo en todas, para obtener otras congruencias. Y permite estudiar ecuaciones con congruencias: ax + b c (mód m)

Como colofón a las dos primeras secciones Gauss aplica estos métodos a problemas históricos como el de dado un número A determinar la cantidad de números primos con A y menores que él. Se trata de la célebre función ? (A) introducida por Euler. Dando una fórmula general para su cálculo: Si A = a m b n c p... siendo a, b, c, ... primos,
ƒ(A) =

Y termina con la demostración del teorema fundamental de las congruencias polinómicas . Una congruencia de grado m, Axm + Bx m-1+ ... +Mx + N 0 (mod p) cuyo módulo p es primo que no divide a A, no puede resolverse de más de m maneras diferentes o no puede tener más de m raíces no congruentes con relación a p.

En la secciones 3ª y 4º Gauss aborda los residuos cuadráticos y de potencias superiores. Dados r y m números enteros donde r no es divisible por m, si existe un número x tal que x2 ??r (mód m), decimos que r es un residuo cuadrático de m, en caso contrario decimos que r es un no-residuo cuadrático de m.
Por ejemplo: 13 es residuo cuadrático de 17, pues la ecuación x 2 ??13 (mód 17) tiene soluciones x = 8, 25, 42

Demuestra Art. 49 y 50 el Pequeño Teorema de Fermat:
Si p es un número primo que no divide a a, a p -1 – 1 es siempre divisible por p.

Y el de Wilson:
El producto de todos los números menores que un número primo dado, aumentado en una unidad es siempre divisible por dicho número

En la sección 4ª Gauss nos proporciona la primera demostración de la ley de reciprocidad cuadrática, a la que denomina Theorema aureum. Art. 131 y siguientes:

Si p es primo de la forma 4n + 1, +p será un residuo o un no-residuo de todo primo que tomado positivamente sea un residuo o un no residuo de p. Si p es de la forma 4n + 3, -p tiene la misma propiedad.

En un lenguaje más asequible, existe una reciprocidad entre el par de congruencias x 2 ??q (mód p ),

x 2 ??p (mód q ) en la que tanto p como q son primos; ambas congruencias son posibles o ambas son imposibles, a no ser que tanto p como q den el resto 3 cuando se dividen por cuatro, en cuyo caso una de las congruencias es posible y la otra no.

Gauss contaba con esta demostración desde 1796, a los 19 años. Euler y Legendre lo habían intentado sin éxito como muy bien comenta el propio Gauss en el art. 151. Sólo por esta demostración Gauss ya debería ser considerado como uno de los matemáticos más potentes de la época. Pero habría más, dentro de la misma obra.

Las secciones 6ª y 7ª tratan de las formas cuadráticas y sus aplicaciones.

Un número entero M puede representarse mediante la expresión ax 2 + 2bxy + cy 2 = M, donde a, b, c, x e y son números enteros.

A la expresión F = ax 2 + 2bxy + cy 2 Euler la denominó forma cuadrática.

Euler ya había utilizado las formas cuadráticas para abordar problemas de números enteros. El problema directo consiste en determinar todos los enteros M que se pueden representar por una forma dada. El inverso, y más interesante, consiste en dados M y a, b y c, encontrar los valores de x e y que representan a M.

Para Gauss el objetivo del estudio de formas es demostrar teoremas de teoría de números. Y a lo largo de la sección nos irá proporcionando unas cuantas joyas, algunas de ellas de incalculable valor. Una de ellas le hizo escribir el 16 de julio de 1796, en su diario, una de sus pocas manifestaciones de júbilo
EYPHKA:
Num =Delta


La alegría estaba más que justificada. El joven Gauss acababa de resolver uno de los retos del viejo Fermat. Y no un reto cualquiera; hasta el gran Euler se había estrellado con él. Esta vez Gauss iba a ser el primero en la historia en proporcionar la respuesta a uno de los innumerables enigmas de Fermat:

Todo número entero positivo se puede escribir como suma de tres números triangulares
La demostración de este resultado aparece en el art. 293 y es una consecuencia del estudio que Gauss realiza de las formas ternarias.

Sección 7ª. De las ecuaciones que definen las secciones del círculo

¿Qué tienen que ver las funciones que dependen del círculo, tan en boga a finales del siglo XVIII, como afirma el propio Gauss en el artículo de introducción de esta sección, con la aritmética superior, con la teoría de números?

El joven Gauss no se resiste a la tentación de incluir una sección que contenga su primer resultado estrella, aquel que en bifurcación vital del Collegium le inclinó a decantar su vida por el camino de las matemáticas en detrimento de las lenguas clásicas: la construcción con regla y compás del polígono regular de 17 lados. Aunque en apariencia este resultado tenga más que ver con la geometría o con el análisis que con la aritmética de números enteros.

Gauss va a dejar para su último artículo, el 366, un resultado que permite decidir los polígonos regulares construibles con regla y compás:

[Para poder seccionar geométricamente el círculo en N partes iguales]... se requiere que N no contenga ningún factor primo impar que no sea de la forma 2m +1, ni tampoco ningún factor primo de la forma 2m +1 más de una vez. De esta forma, se encuentran los 38 valores de N menores que 300:

2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257, 272.

En aquel verano de 1801 Gauss había entrado con todos los honores en el parnaso de los genios matemáticos. A partir de este momento, y como vaticinara Bolyai a su madre en Brunswick, hacía sólo unos pocos años, Gauss se había convertido en el matemático más grande de Europa.

En el invierno también sería uno de los astrónomos más populares del viejo continente

La órbita de Ceres


Desde que en 1781 Herschel descubriera el planeta Urano, una fiebre por descubrir el esquivo planeta que los astrónomos Titius y Bode habían situado entre Marte y Júpiter

El siglo XIX no puede empezar con mejores augurios en esta desesperada búsqueda. Exactamente la noche del primer día de enero de 1801, Giuseppe Piazzi, un clérigo de Palermo y astrónomo aficionado observa por primera vez lo que él piensa, como Herschel unos años antes, que es un nuevo cometa, un objeto de magnitud 8. Durante cuarenta y dos días, hasta la noche del 11 de febrero realiza el seguimiento del nuevo objeto en su viaje por el fondo de estrellas. Pero una inoportuna gripe le mantiene alejado del telescopio las noches siguientes. Cuando se reincorpora a la observación el astro ha dejado de ser visible durante la noche. Sencillamente ha desaparecido ocultado por el Sol. El corto periodo de observaciones no le permite fijar la órbita del “cometa” y predecir dónde volvería a aparecer en el cielo nocturno. Sus datos abarcaban sólo un arco de 9 grados de la órbita.

Cuando los datos de sus observaciones se divulgan un hecho parece claro, la distancia heliocéntrica del objeto lo sitúa entre Marte y Júpiter. En el mes de junio de ese mismo año el astrónomo alemán Franz von Zach utilizando los datos de Piazzi realiza un estudio previo de la órbita, sin ningún éxito.

Como el supuesto “cometa” no aparece por ninguna parte del firmamento, Zach envía los datos a un joven matemático de 24 años afincado en Gottingen, cuya fama se empieza extender por toda Alemania para que realice su propia estimación de la órbita. Se trata de Johann Friedrich Carl Gauss.

La posición del astro que se deducen de los cálculos de Gauss es muy diferente de todas las demás. Las predicciones de Zach y de otros astrónomos profesionales resultaron erróneas. No así las del joven Gauss, que puso en el intento además de su enorme capacidad de cálculo una de las herramientas matemáticas más fructífera para el cálculo de órbitas planetarias como se demostrará a lo largo del siglo: la ley de mínimos cuadrados, descubierta por Gauss unos seis años antes y que mantuvo sin publicar hasta 1809.

En diciembre, Zach decide por fin probar con las predicciones de Gauss y muy cerca de donde los cálculos teóricos de éste situaban el deseado objeto aparece un pequeño punto brillante; es la noche del 7 de diciembre. Las observaciones se prolongan todas las noches de diciembre, al menos todas en las que las condiciones meteorológicas lo permiten y por fin, el 1 de enero de 1802, Orbels en Bremen puede afirmar con toda certeza que el objeto observado encaja a la perfección con los datos de las observaciones de Piazzi de hace un año y con la órbita prevista teóricamente por Gauss. El pretendido cometa de Piazzi era en realidad un nuevo planeta que será observado por los astrónomos más prestigiosos a lo largo de los próximos meses en toda Europa: el 3 de febrero Maskelyne confirma su avistamiento en Grenwich, y unos días más tarde el propio Bode en Berlín y Méchain en París. Pero en el lugar del planeta perdido entre Marte y Júpiter no había uno, sino un rosario de pequeños planetas, los asteroides.

Gracias a Ceres, al final del primer año del nuevo siglo, Gauss es además de uno de los matemáticos más notables, el astrónomo más popular de Europa

En marzo de 1802 Olbers descubre Pallas y plantea a Gauss la fijación de su órbita. El método de los mínimos cuadrados vuelve a manifestar su potencia... Orbels le propone la dirección del nuevo observatorio de Gottingën, aún por construir. En noviembre el joven Gauss, que cuenta con 25 años es nombrado miembro de la Real Sociedad de Ciencias de Gottingën. Tres meses más tarde rechazará una oferta para instalarse en San Petersburgo como miembro de la Academia de Ciencias.

La década triunfal. 1800-1810

La primera década del siglo XIX es la década triunfal del joven matemático. En 1805 se casa con Johanna Ostoff con la que tendrá tres hijos: Joseph, Minna y Louis. Al año siguiente, poco después del nacimiento de su primer hijo, participará con el coronel francés Epailly en la triangulación de Brunswick, lo que dará origen a su interés por la geodesia.

En 1807 es nombrado profesor en Gottingën y director de su observatorio astronómico que por los avatares políticos, la ocupación napoleónica de gran parte de los estados germánicos, no se terminará hasta 1816.
Durante estos años prepara la que será la obra cumbre de la astronomía teórica durante más de medio siglo, la Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium (Teoría del movimiento de los cuerpos celestes que giran alrededor del Sol siguiendo secciones cónicas)., publicada en 1809, una obra en dos volúmenes, el primero trata de las ecuaciones diferenciales, las secciones cónicas y las órbitas elípticas, en el segundo Gauss explica su método de mínimos cuadrados para la determinación de la órbita de un planeta. Aunque conocido y aplicado por Gauss desde 1796, la publicación de Legendre de un método similar en 1806 alimentó una agria polémica entre ambos sobre la paternidad del mismo.

Gauss es el padre de la moderna teoría de errores. Descubrió que la función de distribución de los errores es

Gauss Campana la célebre campana de Gauss.

En la memoria presentada a la Real Sociedad de Gottingen el 15 de febrero de 1821, titulada Método de Mínimos Cuadrados. Teoría de la combinación de las observaciones, Gauss desarrolla de forma completa y general sus ideas ya esbozadas en 1809 en Theoría motus corporum coelestium

Pero 1809 también será un año negro para Gauss; en octubre muere esposa al mes de dar a luz a su tercer hijo Louis, que morirá a los tres meses

Un año más tarde y tras rechazar una oferta de Humbolt para ocupar una plaza en la universidad de Berlín, Gauss contrae nuevo matrimonio con Minna Waldeck, amiga de Johanna, con la que tendrá dos hijos varones Eugen y Wilhelm y una hija Therèse.

1810 -1830. Astronomía, Geodesia y Matemáticas


Gauss Desde 1810 hasta 1830 la mente de Gauss se ocupa de sus tareas como director del astronómico que se inaugurará en 1816 y que le obligará a realizar uno de los pocos viajes conocidos de Gauss para adquirir material científico para el mismo, pero no abandona sus investigaciones matemáticas.
Investiga sobre series infinitas y sobre la serie hipergeométrica, sobre aproximación de integrales y sobre estimadores estadísticos.
Serie hipergeometrica
Serie hipergeométrica

En 1816 confiará en carta a su ex -alumno Schumacher (profesor de Astronomía en Copenhague) sus ideas sobre la geometría no euclídea que llevaba desarrollando desde hacía 20 años.

En 1818 el ministro Arnswaldt encarga a Gauss la triangulación y medición de Hannover. Es una práctica muy habitual sobre todo tras la medición del meridiano realizada por los franceses e impuesta por las necesidades militares – toda Europa está en guerra - de una cartografía precisa. Durante casi 8 años, hasta 1825, Gauss dedicará sus esfuerzos a una práctica rutinaria y agotadora, al alcance de cualquier calculista mediano: efectúa mediciones durante el día y realiza los cálculos durante la noche, que le apartarán de actividades mucho más productivas en el ámbito de las matemáticas. Podemos afirmar que durante casi 20 años el genial Gauss perdió gran parte de su tiempo en tediosos cálculos astronómicos y geodésicos. Pero fruto de esta tarea nacerán más de 70 escritos sobre Geodesia, la aplicación del método de mínimos cuadrados a medidas terrestres, el invento del heliotropo, un mecanismo ingenioso gracias al cual pueden ser transmitidas instantáneamente señales por medio de la luz del sol reflejada, y su interés por la geometría de superficies.

La triangulación de Hannover se reinició en 1828, duró hasta 1844, y en ella participó su hijo Joseph, oficial del ejército.

Geometría diferencial: 1827. Disquisitiones circa generales superficies curvas


Esta obra, fruto de las ideas sobre la geometría de superficies nacidas de sus observaciones geodésicas constituye la contribución definitiva de Gauss a la geometría diferencial

Gauss concibe la superficie “no como el límite de un sólido, sino como un sólido flexible e inextensible, una de cuyas dimensiones está obligada a desvanecer”.

Pero su gran aportación va a ser no estudiar la superficie desde un punto de vista global sino desde un punto de vista local, en el entorno de un punto. Esto le va a permitir despreciar las potencias de grado superior a dos en el cálculo de las distancias.

En esta obra está Gauss aborda tres grandes problemas: la medida de la curvatura, la representación conforme y la aplicabilidad de superficies

Gauss define la curvatura total de una porción de superficie encerrada dentro de una curva C de la siguiente manera:

La normal a una superficie en un punto dado es la recta que pasa por el punto y que es perpendicular al plano tangente a la superficie

en el punto. En cada punto de C existe una normal a la superficie. Si trazamos todas las normales en los puntos de C tendremos un haz de rectas. En una esfera de radio unidad trazamos las paralelas a las rectas normales a C que pasen por el centro de la esfera.
Este haz de rectas corta a la superficie esférica determinando una curva C´. El área encerrada de la superficie esférica encerrada por esta curva C´ se denomina curvatura total de la porción de superficie limitada por C.

La curvatura total en un punto interior de C es el límite de la razón entre el área de C´ y el área de C cuando la superficie C tiende al punto.

Cada normal en un punto de una superficie genera un haz de planos que lo tienen como eje. Cada uno de esos planos corta a la superficie en curvas planas dentro de ellos. Cada una de esas curvas en el punto de apoyo de la normal tiene una curvatura dada. Entonces dado un punto de una superficie habrá un conjunto de curvaturas planas. Se sabe que hay una máxima y una mínima. La curvatura gaussiana que es el producto de la curvatura máxima por la curvatura mínima, las curvaturas principales introducidas por Euler.

En su estudio de superficies Gauss utiliza de forma magistral la representación paramétrica introducida por Euler, realizando una visión intrínseca de la superficie como una variedad bidimensional, las coordenadas (x, y, z) de un punto vienen dadas por tres ecuaciones dependiendo de dos parámetros: x = x(u, v); y = y(u, v); z=z(u,v)

Demuestra que si dos superficies son isométricas (aplicable la una sobre la otra) la curvatura total en dos puntos correspondientes es la misma. (theorema egregium). Una conclusión inmediata es que para mover sin distorsión una parte de una superficie sobre otra parte de la misma superficie es necesario que la superficie tenga curvatura constante. Así una parte de una esfera puede ser desplazada sin distorsión sobre otra, pero esto no ocurrirá con un paraboloide.

Trata también el problema de determinar las geodésicas (el equivalente a las rectas en el plano) de una superficie.

En un artículo publicado en 1827 demuestra que la curvatura total de un triángulo cuyos lados son geodésicas y los ángulos 1, 2 y 3 viene dada por
donde K es la curvatura variable en los puntos del triángulo.

En esta obra se pone definitivamente de manifiesto una observación interesante: la superficie puede ser un espacio en sí misma y las líneas rectas son las geodésicas siendo su geometría, una geometría no euclídea.

Los números complejos

Desde 1799 Gauss dominaba la idea de una representación bidimensional de los complejos, de hecho los utilizó en su tesis doctoral aunque no de forma explícita. Y en 1811, tiene completamente acabada no sólo la representación de los complejos como puntos de un plano bidimensional, sino también la idea de integración de funciones complejas, el teorema integral y el desarrollo en serie de potencias de funciones analíticas. Buena prueba de ello es la carta que dirige a Bessel este año, comentando un ensayo de éste sobre la integral
logarítmica en la que podemos leer:

¿Qué debemos entender por para x= a + b i?

Evidentemente si se quiere partir de conceptos claros es necesario admitir que x, partiendo del valor para el cual la integral debe ser cero, mediante incrementos infinitesimales (cada uno de la forma a + bi) pasa a x = a + bi y entonces se suman todos los

Así el sentido de la integral queda completamente establecido. Pero el paso se puede dar de infinitas maneras: así como la totalidad de las magnitudes reales se pueden imaginar en forma de una recta infinita, también la totalidad de todas las magnitudes reales e imaginarias se puede en imaginar mediante un plano infinito, cada uno de cuyos puntos de abscisa a y ordenada b representará la magnitud a + bi. El paso continuo de un valor de x a otro a + bi se representa entonces mediante una línea, posiblemente de infinitas maneras.

Afirmo ahora que la integral para dos caminos distintos siempre conserva un mismo valor si dentro de la parte del plano comprendida entre las dos líneas representantes del cambio no se hace infinita.

Este maravilloso teorema, cuya demostración no es difícil la daré en otro momento. El teorema está vinculado con otras verdades magníficas relacionadas con el desarrollo en series”

Gauss, como 150 años antes hiciera Fermat con su famoso último teorema, nos amenaza con la publicación de una demostración, que él ya parece tener, de un resultado que será demostrado por Cauchy en 1825 y que hoy se conoce como teorema de la integral compleja de Cauchy

Habrá que esperar hasta 1831, para que Gauss, en una extensión de la teoría de los restos bicuadráticos a los números complejos, haga su presentación definitiva y su representación geométrica ante la sociedad matemática, propiciando gracias a su reconocida autoridad su aceptación definitiva. En esta obra introduce la noción de enteros complejos sobre los que generalizará resultados obtenidos para enteros reales

Gauss y la geometría no euclídea
.

La preocupación de Gauss por el problema de las paralelas, el quinto postulado de Euclides, data de 1796, de su estancia en Gottingën. Su profesor Kastnër disponía de una biblioteca de varios miles de volúmenes sobre este tema y seguro que contagió su inquietud a dos jóvenes inquietos como Gauss y Bolyai.
A partir de 1813 hasta 1831 elabora su geometría no euclídea. En 1813 escribe a Schumacher: “En la teoría de las líneas paralelas, nosotros, no nos encontramos más allá de Euclides. Esta es la parte de la matemática, que más tarde o más temprano debe adquirir una fisonomía absolutamente distinta”. Gauss encuentra numerosos resultados pero no se atreve a publicarlos. En 1829 en carta a Bessel le comunica: “Pasará tiempo antes de que yo elabore para conocimiento público mis extensas investigaciones, y quizás esto no llegue a ocurrir durante mi vida, pues temo el griterío de los beocios (das geschrei der böotier), si alguna vez me propusiera exponer mi criterio”

No es de extrañar que cuando Gauss recibe en 1831 el anexo de Johann Bolyai, hijo de su viejo compañero, La ciencia absoluta del espacio, exponiendo sus ideas sobre una geometría no euclídea, Gauss responda a Wolgang: “Si empiezo diciendo que no puedo alabar semejante trabajo te sentirás desconcertado, pero no puedo hacer otra cosa, porque alabarlo sería alabarme a mí mismo, pues todo el contenido del escrito, el camino seguido por tu hijo y los resultados a los que ha llegado coinciden casi completamente con mis meditaciones, parte de las cuales han tenido lugar desde hace 30 o 35 años”

Sin embargo Gauss consideró públicamente a Janos Bolyai y a Lobachevski, cuando conoció los escritos de éste en 1841, como genios de primera magnitud; de hecho y a propuesta de Gauss Lobachevski fue nombrado miembro de la Academia de Gottingën en 1842.

Hoy nadie discute que la paternidad de la primera geometría no euclídea es una gloria compartida por Gauss, Bolyai y Lobachevski

El magnetismo terrestre

1831 será un año clave en la vida de Gauss. Si un año antes su hijo Eugen emigra a Estados Unidos al parecer por desavenencias familiares, este año muere Minna la segunda esposa de Gauss. Desde entonces será su hija Therèse la que se encargará de los asuntos domésticos. Pero a finales de ese año llega a Gottingën Wilhelm Weber, para ocupar la plaza de profesor de Física. A partir de este momento un decaído Gauss va a encontrar otra vez en la ciencia la solución de sus males familiares.

En estrecha colaboración con Weber Gauss desarrollará una intensa labor en el estudio del magnetismo terrestre. Acoge con entusiasmo la propuesta de Alexander von Humbodlt de crear una red de observatorios magnéticos que cubran toda la superficie terrestre. En la década de los 30 publica varias obras sobre el tema: Intensitas vis magneticae terrestris ad mensuram absolutam revocata (1832), que trata teorías actuales sobre magnetismo terrestre, anticipando las ideas de Poisson, la medida absoluta de la fuerza magnética y una definición empírica del magnetismo terrestre, Allgemeine Theorie Erdmagnetismus (1839), en la que demuestra que solo puede haber dos polos y sienta las bases para determinar la intensidad de la componente horizontal de la fuerza magnética junto con el ángulo de inclinación. Se ayuda de la ecuación de Laplace y especifica la ubicación del polo sur magnético. Ambos construyen el primer telégrafo electromagnético que conseguía transmitir hasta nueve letras por minuto a una distancia de 500 pies, la que se paraba el Observatorio Astronómico de la Facultad de Física.

Junto a Weber es autor del primer atlas geomagnético terrestre y de más de 40 obras sobre mediciones magnéticas de la Sociedad de Magnetismo, fundada por ellos, y de nuevas herramientas para medir el campo magnético. Sin embargo, un hecho va a truncar esta fructífera colaboración, Weber, junto a otros 6 profesores, es despedido de su cargo por negarse a jurar fidelidad al nuevo rey Ernesto Augusto von Cumberland, que había derogado la constitución de 1833. Gauss, de carácter conservador, no movería un dedo a pesar de su influencia para detener el despido, a pesar de que entre los 7 de Gottingën estaban su propio yerno y su inseparable colaborador.

Tras la marcha definitiva de Weber de Gottingën la producción científica de Gauss disminuye de forma rotunda. Trabaja en sus observaciones astronómicas, en dióptrica, en la teoría del potencial, en geodesia pero todas son obras menores.

Los últimos años


En 1849, con motivo del cincuentenario de su doctorado impartirá su famosa conferencia en la que presentará su cuarta demostración del Teorema Fundamental del Álgebra, una variación de la presentada en su tesis, incorporando ya de manera abierta los coeficientes complejos. Jacobi y Dirichlet serán testigos excepcionales. El reconocimiento de Gauss es general en Alemania y en toda Europa.

Continuará con sus observaciones astronómicas hasta 1851, contando entre sus alumnos en estos años a Dedekind y Cantor. Y en junio de 1854, será el presidente del tribunal de la prueba para la habilitación de Riemann como profesor de matemáticas. En ella, Riemann a petición del tribunal leerá su famosa exposición, Sobre las hipótesis en que se fundamenta la geometría, que sin duda impactó al anciano Gauss por lo que suponía de reconocimiento de las geometrías no euclídeas

Curioso ante el progreso tecnológico visitará unos días más tarde las obras del ferrocarril Hannover – Gottingen, excursión en la que casi pierde la vida al sufrir un grave accidente el coche de caballos en que viajaba. De cualquier manera, el corazón del anciano Gauss, aquejado de hidropesía, está dando sus últimos latidos. Y dejará de latir de forma irremediable en la madrugada del 23 de febrero de 1855 mientras dormía plácidamente. Tenía 77 años, 10 meses y 22 días y sobre sus hombros la obra matemática más grandiosa en la historia de Humanidad. Sin duda, como muy bien reflejaba la inscripción de la moneda acuñada en su honor por el rey Jorge V de Hannover, Gauss era “el Príncipe de los Matemáticos”

Como decía su amigo Sartorius von Waltershausen, "Gauss fue sencillo y sin afectación desde su juventud hasta el día de su muerte. Un pequeño estudio, una mesita de trabajo con un tapete verde, un pupitre pintado de blanco, un estrecho sofá, y, después de cumplir los 70 años, un sillón, una lámpara con pantalla, una alcoba fresca, alimentos sencillos, una bata y un gorro de terciopelo eran todas sus necesidades"

Bibliografía : GAUSS

Internet

Los Grandes Matemáticos. Gauss. E. T. Bell. Edición en Internet:

http://www.geocities.com/grandesmatematicos/index.html
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Gauss.html
http://www.geocities.com/RainForest/Vines/2977/gauss/english.html
http://www.geocities.com/RainForest/Vines/2977/gauss/formulae/heptadecagon.html
http://www.dim.uchile.cl/~mkiwi/applets/tfa/
http://mathworld.wolfram.com/Congruence.html

Libros

C. B. Boyer: Historia de la matemática. Alianza Universidad. Madrid. 1986.
W. K. Bühler: Gauss A biographical Study. Springer-Verlag. New York. 1981
G W Dunnington, Carl Friedrich Gauss : Titan of Science (New York, 1955).
C. F Gauss: Méthode des moindres carrés. Traduits en francais par J. Bertrand. Mallet-Bachelier. Paris 1855.
C.F. Gauss: Werke. Hildesheim Georg Olms, 1973..
C. F Gauss: Disquisicions aritmètiques. Traducción de la profesora Pascual Xufrí G., editato por la sociedad Catalana de Matemáticas. Barcelona. 1996.
A. García Azcárate, Legendre. La honestidad de un científico. Ed. Nivola. Madrid 2002
T Hall, Carl Friedrich Gauss : A Biography (1970).
V. Pardo Rego, Lagrange. La elegancia matemática. Ed. Nivola. Madrid 2003
G M Rassias (ed.), The mathematical heritage of C F Gauss (Singapore, 1991).
Reich, K. Gauss. 1777/1977. Inter Nationes. Bonn-Bad Gedessberg. 1977

Vídeos:
Gauss. De lo real a lo imaginario. Serie Universo Matemático. Guión: Antonio Pérez. RTVE. 2000 .Volver a Divulgamat

 
   
 
    Autor: Antonio Pérez Sanz (IES Salvador Dalí. Madrid)