Galois y la enseñanza
Galois fue muy crítico con un sistema
educativo en que lo más importante era
repetir los resultados ajenos y que dificultaba
la iniciativa personal y la imaginación.
Su punto de vista es completamente actual y
muchos de sus párrafos parecen haber
sido escritos hoy mismo. En
los primeros días del año 1831
publicó en la ‘Gazette des
Ecoles’ el artículo “Sobre
la enseñanza de las ciencias”
en el que pone en cuestión la enseñanza
de las materias científicas en su país.
Hay que tener en cuenta que en ese momento Francia
estaba a la cabeza de Europa en todas las disciplinas
científicas y su organización
escolar era motivo de envidia por el resto de
los países que iban a copiarlo en los
próximos años (o estaban haciéndolo
ya). Por eso hay que destacar la clarividencia
de Galois, que quería ir más allá.
Entre otras cosas dice:
“De entrada, en las ciencias las opiniones
no cuentan para nada; los puestos no tendrían
que ser la recompensa de una u otra manera de
pensar en política o en religión.
(...) No podía pues ver sin dolor e indignación
que, en el gobierno de la Restauración,
se transformaban los puestos en el botín
de los que más ideas monárquicas
y religiosas ofrecían. (...) En [los
colegios] la mayor parte de los alumnos de matemáticas
se dirigen a la Escuela Politécnica;
¿qué se hace para ponerlos en
disposición de lograr ese objetivo? ¿Se
busca hacerles concebir el verdadero espíritu
de la ciencia exponiéndoles los métodos
más simples? ¿Se procede de forma
que el razonamiento se vuelva para ellos una
segunda memoria? ¿No hay, por el contrario,
cierto parecido con la forma en que se enseña
el francés y el latín?
¿Hasta
cuándo los pobres jóvenes estarán
obligados a escuchar o repetir todo el día?
¿Cuándo se les dejará tiempo
para meditar sobre ese montón de conocimientos,
para coordinar esa multitud de proposiciones
sin continuación, de cálculos
sin relación? ¿No tendría
alguna ventaja el exigir a los alumnos los mismos
métodos, los mismos cálculos,
las mismas formas de razonamiento, si eran a
la vez los más simples y los más
fecundos? Pero no, se enseña minuciosamente
teorías truncadas y cargadas de reflexiones
inútiles, mientras que se omiten las
proposiciones más simples y más
brillantes del álgebra; en lugar de eso,
se demuestra con gran coste de cálculos
y con razonamientos siempre largos, y a veces
falsos, corolarios cuya demostración
se hace por sí sola.
Por otra parte, ¿por qué los examinadores
no hacen las preguntas a los candidatos mas
que de una manera enredadora? Parecería
que temieran ser entendidos sobre lo que preguntan
(...) El alumno está menos ocupado en
instruirse que en aprobar su examen”.
Galois
y las matemáticas
En el
renacimiento italiano se encuentra la fórmula
para resolver la ecuación general de
cuarto grado. Es una expresión en las
que solamente intervienen los coeficientes de
la ecuación y raíces hasta de
exponente cuarto. Este resultado corrobora lo
que sucede con las ecuaciones de grado 2 y 3
(en cuya solución general hay raíces
de exponentes 2 y 3)
Acababa
el siglo XVIII cuando Gauss (1777-1855) presentó
en 1799 su tesis doctoral en la que aparecía
el ‘teorema fundamental del álgebra’
que establece de forma rigurosa que toda ecuación
polinómica con coeficientes reales se
puede descomponer de forma única como
producto de factores de primero y segundo grados,
y en consecuencia que toda ecuación de
ese tipo tiene al menos una raíz (real
o imaginaria). Este era un resultado general
pero que no establecía el método
efectivo de hallar esas raíces.
Vistos los datos anteriores era una hipótesis
razonable pensar que una ecuación de
quinto grado tendría cinco soluciones
reales o imaginarias, diferentes o repetidas;
pero no se había encontrado la fórmula
para encontrarlas, aunque, caso de que la hubiera,
también era razonable suponer que contendría
raíces de grado cinco. Y, generalizando
un poco, que las de grado seis se resolverían
con raíces sextas, las de grado siete
con raíces de ese mismo grado y así
sucesivamente. Era cuestión de ponerse
a trabajar para encontrar la solución
de la ecuación de quinto grado y después
seguir. Se dedicaron a ello muchos grandes matemáticos
de la época, como Lagrange (1736-1813),
Cauchy (1789-1857) y sobre todo Ruffini (1765-1822)
que fue el que más avanzó hacia
el resultado final, aunque no llegó a
completarlo. Esa sería la labor de Abel
(1802-29) que el año 1823 (cuando tenía
21 años) obtuvo el resultado definitivo:
la ecuación general de quinto grado no
era resoluble por radicales, ni de índice
cinco ni de ningún otro. Con eso se daba
un paso importante al cerrar el problema de
la búsqueda de fórmulas de resolución.
Todavía quedaban otros aspectos importantes
por abordar, en particular las condiciones que
debían cumplir ecuaciones particulares
para que sí se pudieran resolver.
La forma
en que Abel ‘resolvió’
el problema de la resolución de la ecuación
general de quinto grado demostrando su imposibilidad
es la primera vez en la historia que un problema
tenía este final, y sería el inicio
de una larga lista de imposibilidades (con la
destacada de la indecibilidad del lenguaje aritmético,
establecido por Gödel en 1931). Hasta ese
momento cuando un problema no se sabía
resolver se consideraba que es que no se seguía
el camino apropiado o que no se tenían
los instrumentos necesarios para resolverlo,
pero se tenía el convencimiento de que
antes o después se lograría resolver.
La contribución genial de Galois a la
teoría de resolución de ecuaciones
fue la determinación de las condiciones
en las que una ecuación es resoluble
por radicales, lo que da como consecuencia que
para todo n > 4 haya ecuaciones polinómicas
que no son resolubles por radicales.

Una página de
las “Mémoire sur les conditions
de resolibilité des equations par radicaus”
de la publicación de las obras de Galois
de1897
En esencia
el resultado de Galois sobre resolubilidad por
radicales de una ecuación tiene que ver
con una serie de subgrupos (de un tipo especial
llamados normales) del grupo de permutaciones,
cada uno subgrupo del anterior, asociados a
lo que llama Galois resolventes de la ecuación.
Y este resultado es que una ecuación
es resoluble por radicales si y solo si los
índices de todas las etapas de esa sucesión
de subgrupos son números primos. Eso
es lo que pasa en todas las ecuaciones de grado
4, puesto que el orden de S(4) es 24, y nos
lleva a una serie de subgrupos de índices
3,2,2 y 2, todos primos. En el caso de la ecuación
general de grado n > 4, S(n) tiene n! elementos
y nos lleva a una serie de dos subgrupos de
índices 2 y n!/2, y este último
número nunca es primo, luego la ecuación
general de grado n > 4 no es resoluble por
radicales.
Basten
las pocas líneas anteriores para mostrar
la aportación de Galois a la teoría
de resolución de ecuaciones, que fue
de tal calibre que acabó con el propio
objeto del álgebra, pasando a partir
de sus resultados a poner el acento en el estudio
de las estructuras algebraicas. Así comienza
lo que aún hoy se conoce como ‘matemáticas
modernas’, de las que la ‘Teoría
de Galois’ sigue siendo una parte plenamente
vigente.
Fue
tan avanzado que sus resultados, que redacta
la noche anterior al duelo y encarga a su amigo
A. Chevalier que publique, nadie los entiende
durante un tiempo. Tendrían que pasar
doce años para que vuelvan a ver la luz,
cuando Liouville en 1843 anuncia en la Academia,
que tan poco caso le hizo unos años antes,
que había encontrado entre los papeles
de Galois una solución concisa, pero
tan exacta como profunda de este bello problema:
‘Dada una ecuación de grado primo,
decidir si es o no es resoluble por radicales’.
Y tres años más tarde, el mismo
Liouville publica en la revista que dirige (‘Journal
de mathématiques pures et appliquées’)
una reedición de los artículos
de Galois junto con sus dos memorias inéditas.
Aunque tardía, su repercusión
y su influencia fueron inmensas en las matemáticas
desde la segunda mitad del siglo XIX hasta nuestros
días..
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