Historia de las Matemáticas

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Eudoxo de Cnido (en torno a 400-347 a.n.e.)

 
Eudoxo de Gnido Fue el matemático griego más notable del s. IV a.n.e. No sólo fundó la astronomía matemática, sino que contribuyó decisivamente a la teoría de la proporción y al método de “convergencia” (o, peor llamado, de “exhausción”).

Nació en Cnido -en la península hoy de Resadiye, Turquía- en un medio familiar relacionado tal vez con la medicina: al menos, fueron médicos quienes tutelaron sus primeros viajes. Pertenece a la saga de los antiguos sabios viajeros, no siempre fiable a propósito de viajes concretos, pero reveladora de la transmisión y comunicación de conocimientos por el Mediterráneo desde las costas orientales y Egipto hasta la Magna Grecia.

Según esta tradición, Eudoxo estudió matemáticas con Arquitas, en Tarento, y medicina con Filistio en Sicilia. Luego visitó Atenas y pudo asistir a la recién creada Academia de Platón.

Tras una breve estancia en Atenas, volvió a su ciudad natal, y desde allí, provisto de una carta de presentación ante el faraón Nectanebo I, partió hacia Egipto para estudiar durante más de un año astronomía con los sacerdotes de Heliópolis, al tiempo que iniciaba sus propias observaciones astronómicas en un observatorio relativamente cercano. Él mismo, al parecer, llegó a disponer más tarde de un observatorio en Cnido desde el que pudo observar la estrella Canopea. Tiene acreditados dos títulos, Espejo y Fenómenos, quizá referidos a dos versiones de una obra que, según Hiparco, describía las constelaciones y procuraba fijar las bases de un calendario astronómico, así como un tercero, Sobre velocidades, que da nombre a un tratado astronómico-geométrico. También se le atribuye, sin mucho fundamento, otro libro calendárico sobre el ciclo de 8 años, Octaeteride, e incluso la invención de un astrolabio. Lo cierto es que el Arte de Eudoxo, un tratado en papiro de confección muy posterior, recoge informaciones de este género que pueden proceder en buena parte de algunos escritos suyos hoy perdidos.

Cumplido su periodo de iniciación y formación en la investigación astronómica en Egipto, Eudoxo se trasladó a Cícico, en la costa sur del mar de Mármara, donde fundó una escuela de renombre. Con este aval y acompañado de algunos discípulos, volvió a Atenas hacia 368; allí entró en una relación más directa, si bien -cabe temer- un tanto problemática, con Platón y su Academia. Pasado algún tiempo, Eudoxo retornó a Cnido envuelto en una aureola de respeto y popularidad que le valió desempeñar un papel de primer orden como legislador y aun redactar, según parece, la constitución de su polis natal. Pero esta calidad de “hijo predilecto” y de mentor político no le apartó de sus intereses científicos, ni de su trabajo en cuestiones cosmológicas, astronómicas y geográficas. Los repertorios aún registran a su nombre otra obra de geografía matemática y descriptiva en varios volúmenes, Contorno de la tierra, que incluía noticias sobre minerales, plantas y animales.

Dentro de su oscura e incierta biografía, el punto que parece haber cobrado más brillo para la posteridad es el de sus relaciones con Platón durante su segunda estancia en Atenas. Serán, según quién las cuente varios siglos después, relaciones de muy diverso signo, discordes o concordes. En el primer caso, se habla de una recepción hostil por parte de Platón: celoso -insinúa Diógenes Laercio- de la popularidad de un visitante maduro al que, de joven, había despedido de la naciente Academia; o receloso -asegura Plutarco- de las ideas matemáticas de alguien que, siguiendo los malos pasos de Arquitas, no había dudado en contaminar la geometría con nociones mecánicas y curvas sospechosas -la “kampyla de Eudoxo” 1 - a la hora de afrontar el problema de la duplicación del cubo. Según otros, puede que Eudoxo no mostrara el debido respeto hacia los métodos -el analítico o el dianoético-, recomendados por Platón en matemáticas, ni hacia su competencia específica en este campo. O en fin, según un intérprete actual [4], puede que se entablara entre Eudoxo y Platón un pleito filosófico en torno a la índole y al conocimiento de los objetos matemáticos, en el que ulteriormente terciaría Aristóteles.

Frente a la trascendencia de las entidades ideales matemáticas prevista por Platón, Eudoxo postularía una condición sustantiva similar para las ideas matemáticas, sólo que inmanente en los objetos reales y sensibles. Aristóteles, a su vez, vendría a denunciar tanto el idealismo de Platón, como el sustancialismo de Eudoxo (cf. Metafísica, 991a 17-19, 1079b 21-23): si el primero es erróneo, el segundo resulta incongruente pues, dado que sustancia equivale a sustrato y autosubsistencia, no hay sustancia alguna que pueda darse o subsistir en otra sustancia, luego no cabe conceder una naturaleza sustantiva a las ideas matemáticas y atribuirles al mismo tiempo una existencia material o inmanente en los cuerpos u objetos sensibles. La solución aristotélica consiste en considerar las nociones, objetos y propiedades matemáticas como aspectos abstraídos o, más bien, conceptualizados selectivamente, -es decir, con arreglo a las definiciones y demostraciones pertinentes-, en nuestro trato cognoscitivo con las cosas realmente existentes.

Pero contra estas referencias e interpretaciones milita una tradición, no menos legendaria, que ve en Eudoxo un miembro de número de la Academia, presto a seguir las indicaciones de Platón -según quiere un neoplatonismo empeñado en hacer de Platón la musa de la madurez de la matemática griega del s. IV-. Si a Platón le interesa un modelo cosmológico que represente o, al menos, “salve” las trayectorias aparentemente irregulares de los planetas mediante un sistema de movimientos circulares y uniformes, ahí viene Eudoxo con su modelo homocéntrico bajo el brazo. Si a Platón le interesa el rigor de la construcción deductiva en geometría, ahí está Eudoxo, de nuevo, empleándose a fondo en una teoría de la proporción capaz de deducir los resultados anteriores y de abrir una nueva perspectiva sistemática. En definitiva, ¿qué hay de la “cuestión” de las relaciones entre Eudoxo y Platón? ¿Eudoxo fue un platónico ortodoxo, o siguió su camino como algunos otros –Menecmo, por ejemplo– al margen del programa de la Academia, o hubo de todo un poco? Lo único seguro es que nos encontramos en una situación habitual dentro de la historia de la antigua matemática griega: las “historias” tardías que hemos recibido y nuestras propias conjeturas, en suma: nuestras “cuestiones”, son más numerosas y elocuentes que los datos disponibles para contrastarlas y dirimirlas.


Aun así, tenemos constancia de algunas contribuciones decisivas de Eudoxo a la astronomía y a la geometría.
Según fuentes fiables, Eudoxo inició la vía de la astronomía matemática griega clásica, con un modelo geométrico de esferas homocéntricas que trataba de dar cuenta y razón de ciertos fenómenos, como las trayectorias erráticas de los planetas, dentro del marco de una directriz o principio: los movimientos de los cuerpos celestes han de ser circulares y regulares, y a partir de un supuesto geocéntrico: la tierra ocupa el centro del universo; un desiderátum añadido era la simplicidad de la construcción. El modelo no constituía un sistema porque consideraba un juego de esferas en rotación para cada caso: tres para el sol y la luna, cuatro para cada uno de los planetas conocido.

El desafío de los planetas era acuciante: presentaban no sólo cambios de velocidad, puntos estacionarios y desviaciones de la eclíptica, sino retrogradaciones, cuya explicación llevaría a Eudoxo a introducir su famosa hipopede (traba de caballería en forma de 8) o lemniscata esférica. La hipopede resulta del movimiento combinado de las dos esferas más internas: el periodo de rotación del planeta sobre esta figura corresponde al periodo sinódico del planeta -el tiempo que le lleva recuperar la misma posición con relación al sol-, mientras que el de rotación sobre la esfera que lo porta corresponde a su periodo sideral -el tiempo preciso para llegar a situarse bajo la misma estrella fija-.
Curva hipopede
Curva hipopede, intersección del cilindro y la esfera, utilizada por Eudoxo para explicar su modelo planetario
Con todo, el centro de cada uno de estos tinglados de esferas, independientes entre sí y dispuestos para cada planeta, es el mismo: la tierra. La construcción de Eudoxo envuelve intersecciones más complejas que las consideradas por Arquitas al plantearse el problema de hallar dos medias proporcionales, pero discurre en una línea similar, pues la hipopede está generada por la intersección de una esfera con un cilindro de revolución tangente y por la de la esfera o el cilindro con un cono cuyo eje es paralelo al del cilindro. Hoy cabe discutir el estatuto real –es decir físico–, o representativo –meramente geométrico–, que Eudoxo confería a sus esferas y, en consecuencia, el propósito más explicativo o sólo descriptivo de su modelo: a la interpretación realista tradicional, de raíz aristotélica, se oponen consideraciones como las expuestas en [12].

En geometría, algo sabemos tanto de su contribución decisiva a la teoría clásica de la proporción (Aristóteles, Segundos Analíticos, 14a 17-25; Euclides, Elementos, V, escolio 1; Proclo, In I Euclidis Comm., 55.18-23), como de la prueba de dos teoremas avistados por Demócrito: el volumen de una pirámide es un tercio del volumen de un prisma de su misma base y altura; el volumen de un cono es un tercio del volumen de un cilindro de su misma base y altura (Arquímedes, prefacios de Sobre la esfera y el cilindro y del Método).

Eudoxo avanza una teoría general que vendrá a sustituir las teorías previas sobre razones y proporciones (cf. [3], [5], [8]): la aritmética, incapaz de hacerse cargo de las magnitudes no conmensurables descubiertas en el s. V; o la antiferética, aplicable a construcciones geométricas y a la determinación de casos de no conmensurabilidad –en la línea de las investigaciones de Teodoro y Teeteto (cf. Platón, Teeteto, 147d-148b)–, pero sólo capaz de habilitar pruebas por separado para las magnitudes conmensurables y las inconmensurables y para sus diversos campos de aplicación –números, líneas, áreas– (cf. [5]); [10], en cambio, discrepa de esta limitación). Las magnitudes que considera Eudoxo son todas aquellas que, siendo homogéneas, pueden guardar razón entre sí y satisfacer la condición: si A < B, hay un número (entero positivo) n tal que nA > B -condición explicitada con distintos matices por Euclides y por Arquímedes-. La relación de proporción -es decir, la relación de guardar la misma razón- no es una relación diádica de igualdad entre razones, sino una relación tetrádica entre magnitudes, representable como

‘A:B :: C:D’, que obedece al siguiente criterio. Sean m, n números (enteros positivos) cualesquiera.
Entonces, A:B :: C:D si y sólo si (i) siempre que mA > nB, también mC > nD; (ii) siempre que mA = nB, mC = nD; y (iii) siempre que mA < nB, mC < nD.

También podría haber deducido Eudoxo unas propiedades como:
Si A:B :: C:D, entonces [a] A:C :: B:D, alternancia; [b] B:A :: D:C, inversión; [c] (A+B):B :: (C+D):D, composición; [d] (A-B):B :: (C-D):D, separación.

Esta base teórica fue luego reconstruida, desarrollada e instituida por la teoría de la proporción del libro V de los Elementos de Euclides. Siglos más tarde, asistiremos a una asociación del criterio de proporcionalidad de Eudoxo con la idea de cortadura de Dedekind , aunque las magnitudes consideradas por Eudoxo sean, en su conjunto, irreducibles a los números -en el sentido griego antiguo-, y esta matemática griega ignore la teoría de los números reales.

Las pruebas de los teoremas sobre el volumen de la pirámide y del cono envuelven, a su vez, el uso de un método de “convergencia” que descansa en la teoría de la proporción y en ciertos supuestos implícitos. De unos supuestos parecidos ya da fe Aristóteles:
«al agregarle siempre algo a lo finito excederemos toda magnitud finita (1) y, parejamente, al sustraerle algo, tendremos que llegar a una magnitud menor que una finita dada (2)» (Física, 266a 2-4), quizás al tanto de las pruebas de Eudoxo.

El supuesto (2) será formulado y sentado como un lema de bisección por Euclides (Elem., X, 1); de la expresión precisa de (1) se ocupará, a su vez, Arquímedes (pref. de La cuadratura de la parábola, Sobre la esfera..., Sobre las espirales).

El método nace sabedor de los infructuosos esfuerzos de Brisón y de Antifonte por cuadrar el círculo, si bien pudo inspirarse en su heurística aproximativa. Se aplica a la determinación de áreas y volúmenes por equivalencia o proporción con unas magnitudes poligonales dadas. La idea eudoxiana es determinar la magnitud de una figura curvilínea, F, mediante la construcción de una serie monótona de polígonos inscritos –a la que posteriormente se añadirá a veces la construcción de otra decreciente de polígonos circunscritos–, que convergen en una magnitud equivalente o proporcional a la de F en el supuesto de que, a tenor de (2), sus diferencias pueden hacerse menores que cualquier magnitud finita dada. Entonces, al amparo tácito de un principio de tricotomía, obra la reducción al absurdo de las hipótesis de que la magnitud de la figura curvilínea sea mayor, o sea menor, que la poligonal construida. Este recurso permite una demostración efectiva y finitista de su equivalencia o proporción –pero no justifica la romántica presunción de una especie de “horror” griego al infinito


BIBLIOGRAFÍA:

`[1]. G.L. Huxley, “Eudoxus of Cnidus”, en Dictionary of Scientific Biography (Ch. Gillispie, ed. New York, Scribner & Sons, 1970-1980, reimpresión 1981), vol. 4, pp. 465-7.
- http://www.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Eudoxus.html

LIBROS

[2]. J. Brunschwig y G. Lloyd, eds., El saber griego. Madrid, Akal [Diccionarios Akal], 2000.

[3]. D. Fowler, The mathematics of Plato’s Academy. Oxford, Clarendon Press, 1987, 1999 2ª edic.

[4]. J.L. Gardies, L’Héritage épitémologique d’Eudoxe de Cnide. Paris, Vrin, 1988.

[5]. W. Knorr, The evolution of the Euclidean elements. Dordrecht / Boston, Reidel, 1975.

ARTÍCULOS:

[6]. L. Corry, “La teoría de las proporciones de Eudoxio interpretada por Dedekind”, Mathesis, X/1 (1994), 1-24.

[7]. W. Knorr, “Matemáticas”, en J. Brunschwig y G. Lloyd, eds., El saber griego [3], pp. 310-330.

[8]. P. Rusnock y P. Thagard, “Strategies for conceptual change: ratio and proportion in classical Greek mathematics”, Studies in History and Pilosophy of Science, 26/1 (1995), 107-131.

[9]. H. Stein, “Eudoxos and Dedekind: on the ancient Greek theory of ratios and its relation to modern mathematics”, Synthese, 84 (1990), 163-211.

[10]. A. Thorup, “A pre-Euclidean Theory of Proportions”, Archives for the History of Exact Sciences, 45 (1992), l-16.

[11]. G.J. Toomer, “Astronomía”, en Brunschwig y Lloyd, eds., El saber griego [3], pp. 222-229. 12. L. Wright, “The astronomy of Eudoxus: geometry or physics?”, Studies in History and Philosophy of Science, 4/2 (1973-1974), 165-172

NOTAS:

1.- Puede verse en la dirección
http://www.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Curves/Kampyle.html

2.- Puede verse en la dirección
http://www.mathcurve.com/courbes3d/hippopede/hippopede.html

3.- Así se dice que, conforme al criterio de Eudoxo, la razón a:b es la clase de equivalencia del par (a, b) que cumple la condición: (a, b) = (a´, b´) si y sólo si, para todo m, n ? N, ma es mayor, igual o menor que nb según que ma´ sea mayor, igual o menor, respectivamente, que nb´. Siendo el dominio de N los números reales, la condición viene a decir que a/b ? m/n según que a´/b´ ? m/n, de modo que a/b y a´/b´ determinan una misma cortadura de los racionales. Cf. una discusión de las relaciones de Dedekind con Eudoxo en L. Corry [6]; otros aspectos críticos pueden verse en H. Stein [9].

4.- Las cosas podían ser, al menos en tiempos de Eudoxo, bastante más simples, a juzgar por el testimonio de Aristóteles: los geómetras -dice- no necesitan ni emplean el infinito, pues sólo se sirven de magnitudes finitas que pueden prolongar tanto como quieran y de magnitudes divisibles en una razón determinada, de modo que para sus demostraciones sería indiferente la presencia del infinito en las magnitudes reales (Física, 207b 27-34). Véase también, por ejemplo, Knorr [7], pp. 321-2.

1.- Puede verse en la dirección
http://www.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Curves/Kampyle.html

2.- Puede verse en la dirección
http://www.mathcurve.com/courbes3d/hippopede/hippopede.html

3.- Así se dice que, conforme al criterio de Eudoxo, la razón a:b es la clase de equivalencia del par (a, b) que cumple la condición: (a, b) = (a´, b´) si y sólo si, para todo m, n ? N, ma es mayor, igual o menor que nb según que ma´ sea mayor, igual o menor, respectivamente, que nb´. Siendo el dominio de N los números reales, la condición viene a decir que a/b ? m/n según que a´/b´ ? m/n, de modo que a/b y a´/b´ determinan una misma cortadura de los racionales. Cf. una discusión de las relaciones de Dedekind con Eudoxo en L. Corry [6]; otros aspectos críticos pueden verse en H. Stein [9].

4.- Las cosas podían ser, al menos en tiempos de Eudoxo, bastante más simples, a juzgar por el testimonio de Aristóteles: los geómetras -dice- no necesitan ni emplean el infinito, pues sólo se sirven de magnitudes finitas que pueden prolongar tanto como quieran y de magnitudes divisibles en una razón determinada, de modo que para sus demostraciones sería indiferente la presencia del infinito en las magnitudes reales (Física, 207b 27-34). Véase también, por ejemplo, Knorr [7], pp. 321-2.
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    AUTOR: Luis Vega Reñón (U.N.E.D.)