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Euclides ha sido el matemático
griego clásico por antonomasia y su nombre aún es,
quizá, el más popular en la larga y poblada historia
de las matemáticas. Pero nadie ha sabido resumir mejor que
E. M. Forster la ocultación de su persona bajo el personaje:
«Nada sabemos de él. A decir verdad, hoy lo consideramos
como una rama del saber más que como hombre»
(Alejandría. Sección I, E, [i]. Barcelona, Seix Barral,
1984; p.64).
Euclides pasa por ser, en dos palabras, la geometría:
la geometría clásica griega, en términos más
precisos. Es una identificación que debe a sus Elementos,
la obra más editada nunca tras la Biblia según quienes
llevan estas cuentas. Luego veremos que ni Euclides, ni los Elementos
son sólo geometría. En todo caso, entre los polígrafos
antiguos, Euclides ya daba nombre a esta disciplina y él
mismo pasaba a ser conocido por el mero apodo de “el elementador
(el autor de los Elementos)”. Bueno, si oyen de alguien que
haya desaparecido, soterrado bajo el peso del éxito de su
propio best-seller, piensen en Euclides.
La referencias más dignas de
crédito lo sitúan, en el tiempo, entre la generación
de los discípulos directos de Platón (muerto en 347)
y la de Arquímedes (nacido hacia
287); en el espacio, cerca del rey Tolomeo I Sóter –del
que era “comensal [parásitos]”, escribe Ateneo
(s. II d.n.e.)–, en Alejandría, donde al parecer creó
escuela. Según Proclo:
«No mucho más joven [que Hermótimo de
Colofón y Filipo de Medma, discípulos de Platón]
es Euclides, quien compiló los elementos poniendo en orden
varios teoremas de Eudoxo, perfeccionando muchos resultados de Teeteto
y dando así mismo pruebas incontestables de aquello que sus
predecesores sólo habían probado con escaso rigor.
Vivió en tiempos del primer Tolomeo, pues Arquímedes,
que vino inmediatamente después, menciona a Euclides»
(In I Euclidis Elementorum librum commentarii, 68.6-14).
La referencia acerca de la enseñanza de Euclides en Alejandría
procede de Papo (Collectio, VII 35): cuenta que, hacia 250, Apolonio
había conocido a unos discípulos de Euclides en Alejandría.
Ambas referencias cuadran con otras indicaciones. En cambio, sólo
descansa en sí mismo el tópico de que Euclides hubiera
visitado la Academia platónica.
Euclides deviene con el tiempo un personaje de historias y leyendas,
a veces presa de malentendidos. Las historias de los polígrafos
griegos tienden a moralizar en un tono neoplatónico edificante
y severo. Según Estobeo, cuando uno de sus oyentes, nada
más escuchar la demostración de un teorema, le había
preguntado por la ganancia que cabía obtener de cosas de
este género, Euclides, volviéndose hacia un sirviente,
había ordenado: «Dale tres óbolos, pues necesita
sacar provecho de lo que aprende». También se decía
que, en otra ocasión, al preguntarle el rey Tolomeo I por
una vía de acceso a los conocimientos geométricos
más fácil y simple que las demostraciones de los Elementos,
Euclides había respondido:
«No hay camino de reyes en geometría». Algunos
matemáticos de ayer (G.H. Hardy) y de hoy (E.C. Zeman) todavía
se imaginan a Euclides como un digno y envarado colega, un tipo
pedante. Es una impresión que no concuerda con la que sugiere
Papo cuando alaba su talante «comprensivo y afable»
(Collect., VII 35). Pero los polígrafos árabes inventaron
leyendas más audaces: Euclides habría sido hijo de
Naucrates, nieto de Zemarco -y tal vez de Berenice-; habría
nacido en Tiro y residido en Damasco, sin renegar de su ascendencia
helénica; en fin, sus Elementos no hacían sino refundir
el trabajo de un tal Apolonio, carpintero por más señas
(Casiri, Biblioteca Arabico-Hispana Escurialensis, I 339).
Luego, en los ss. XV-XVI, llegó la hora de los malentendidos
con algún comentador y algún editor de los Elementos:
hubo quien dio a su autor la falsa identidad de Euclides de Megara,
un filósofo socrático coetáneo de Platón,
y hubo quien insistió en agregar a la obra dos libros espurios:
el XIV, debido seguramente al alejandrino Hipsicles, y el XV, mucho
más tardío y de menor calidad aún, atribuible
al bizantino Damacio. Ahora bien, la neblina que envuelve al personaje
sigue dando que hablar en nuestros días. Hay quien ha pensado,
e.g. Itard [2], que la única salida viable ante la incertidumbre
creada por su vaga cronología y por la composición
un tanto irregular y heterogénea de sus Elementos, es plantear
una especie de “cuestión euclídea”, a
saber: ¿no será “Euclides” un nombre colectivo
-digamos, un temprano Bourbaki en la
antigua Alejandría-? O, más probablemente, ¿no
serán los Elementos obra de una escuela? Nada de
esto es imposible. Pero tales propuestas carecen de base documental
y, por añadidura, desvían el interesante problema
de la composición de los Elementos de su significación
y su explicación históricas internas
Los problemas en
torno a la personalidad de Euclides se extienden a la autoría
de los escritos que nos han llegado bajo su nombre. Hoy suponemos
que escribió por lo menos una decena de obras, pero sólo
contamos con dos acreditadas: los Elementos y los Datos -e incluso
en el caso de los Elementos, en especial, hemos de atenernos a
ediciones y variantes posteriores del original, una historia apasionante
(cf. [4], introd.) todavía en revisión–.
Los Elementos, en la edición estándar [3],
constan de 140 asunciones básicas (130 definiciones, 5
postulados, 5 nociones comunes), 465 proposiciones derivadas (93
problemas, 372 teoremas), y unos pocos resultados auxiliares (19
porismas, 16 lemas). Cubren diversos campos de la matemática
griega: la geometría plana (libros I-IV); la teoría
de la proporción (V-VI); la teoría aritmética
(VII-IX); la conceptualización de la conmensurabilidad
e inconmensurabilidad, y la clasificación de rectas expresables
y no expresables en términos de razones (X); la geometría
del espacio (XI-XIII).
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"Los seis libros
primos de la Geometría de Euclides" (Sevilla,
1576). Primera edición española de los Elementos
de Euclides |
Dentro de ellos
hay núcleos de especial relieve como el tema de las paralelas
en geometría, o el estudio de los primos relativos en aritmética,
o el desarrollo sistemático de la proporción como
una relación tetrádica entre magnitudes en el marco
de una teoría que reelabora el legado de Eudoxo:
«Se dice que guardan razón entre sí
las magnitudes que, al multiplicarse, pueden exceder una a otra»
(V definición 4; cf. la condición o postulado de
Eudoxo),
«Se dice que una primera magnitud guarda la misma razón
con una segunda que una tercera con una cuarta, cuando cualesquiera
equimúltiplos de la primera y la tercera excedan a la par,
sean iguales a la par o resulten inferiores a la par que cualesquiera
equimúltiplos de la segunda y la cuarta, respectivamente
y tomados en el orden correspondiente» (V def. 5; cf. el
criterio de proporcionalidad de Eudoxo).
La teoría incluye además otros supuestos precisos:
(i) un criterio de no proporcionalidad, fundado en la relación
de guardar mayor razón (def. 7), que a su vez depara un
orden de las magnitudes consideradas; (ii) la existencia de un
cuarto término proporcional (tácita en V 18, luego
probada para un caso particular en VI 12). Por añadidura,
sienta las bases del método de convergencia al establecer,
a partir de V def. 4, el lema de bisección:
«Dadas dos magnitudes desiguales, si se quita de
la mayor una [magnitud] mayor que su mitad y, de la queda, una
magnitud menor que su mitad y así sucesivamente, quedará
una magnitud que será menor que la magnitud menor dada»
(X 1; cf. el lema de continuidad de Arquímedes
Tampoco faltan, desde luego, resultados célebres o notables:
e.g. las pruebas del afamado “teorema de Pitágoras”
(I 47, V 31); un algoritmo antiferético para hallar la
medida común máxima de dos números (VII 1,
2); una primicia de la descomposición única de un
número en sus factores primos (IX, 4); la prueba de la
no finitud de los números primos (IX 20); o, en fin, la
demostración de que dos magnitudes conmensurables guardan
entre sí la misma razón que un número con
un número (X 5) -siendo números los enteros positivos-;
amén de resultados y ejercicios sobre áreas y volúmenes,
inscripciones y circunscripciones, etc., que durante más
de 2000 años han familiarizado con la matemática
elemental y su rigor demostrativo a generaciones y generaciones
de escolares.
Los Datos, la segunda obra acreditada de que
hoy disponemos, bien podría ser un texto auxiliar o complementario
de los Elementos: tiene que ver con los libros I-IV y con la práctica
del análisis geométrico como técnica de resolución
de problemas: en el supuesto de que ciertas partes de una figura
estén dadas -por lo que respecta a su posición,
magnitud, etc.-, muestra la manera de determinar otras partes
de la figura en ese mismo respecto.
Hay luego recensiones o versiones discutidas de otros dos trabajos
de Euclides: Fenómenos, obra de astronomía teórica
compuesta sobre una base de geometría esférica más
bien elemental, y Óptica, un estudio “more geometrico”
de la perspectiva y de la visión directa –por contraste
con la geometría de los rayos reflejados, catróptica,
o de los rayos refractados, dióptrica–, que se vio
oscurecido y postergado ante las mayores luces de la Óptica
de Tolomeo (s. II d.n.e). Los demás escritos de Euclides
pueden darse, hoy al menos, por perdidos. Hay una versión
árabe y otra latina de Sobre divisiones de figuras, obra
quizá vinculada a la corriente calculística y operatoria
de la matemática griega –una corriente “guadiana”
que desmiente la identificación simplista de esta matemática
con la conceptualización teórica y la deducción
axiomática–.
Pero nada queda de unos Lugares relativos a la superficie, unos
Porismas, unas Cónicas, o de un ensayo propedéutico
Sobre los paralogismos. Por lo demás, se le han atribuido
otros restos dispares (una Catróptica, una Sección
del canon, una Mecánica), cuya autoría euclídea
parece hoy descartada.
En vista de la situación, quizá sea más fácil
apreciar qué no es Euclides que saber quién fue
Euclides. Por ejemplo, según un viejo tópico, Euclides
era platónico en las ideas y aristotélico en el
método: son especulaciones de las que tendrá que
hacerse responsable el propio intérprete, pues los textos
euclídeos acreditados son, en tales respectos filosóficos,
mapas mudos.
En cambio, los Elementos sí son bastante elocuentes sobre
las tradiciones matemáticas de los ss. V-IV (cf. [11],
IV, pp. 269 ss.): sistematizan la teoría disponible de
los números, la geometría elemental –a partir
de una tradición de elementos geométricos que desaparecen
tras el tratado euclídeo– y la teoría de la
proporción generalizada por Eudoxo;
ponen orden en los resultados sobre conmensurabilidad e inconmensurabilidad
y en las investigaciones de Teteeto acerca de los casos expresables
y no expresables en términos racionales; incluso normalizan
los usos formularios del lenguaje matemático iniciados
en el s. IV –según testimonia Aristóteles
y muestra el primer texto matemático griego conservado:
Sobre la esfera en movimiento (Autólico de Pitania, ¿360-290?)–.
De todo ello no se desprende que la matemática griega anterior
a Euclides sea “pre-euclídea”, es decir: siga
un camino de perfección que culmina en sus Elementos, según
da a entender Proclo. Pero, por otro lado, las virtudes de organización
y normalización del texto, así como su fortuna institucional,
tampoco justifican otro estereotipo más moderno: el de
un Euclides viejo profesor, mero recopilador de unos conocimientos
matemáticos básicos en un manual de éxito
-por contraste con el genio investigador y creador que representaría
Arquímedes-. Pues, según
todos los visos, Euclides no es sólo un administrador lúcido
y selectivo de un legado heterogéneo, sino un socio que
añade su propio capital a la empresa (e.g. a la teoría
de las rectas paralelas, al proceder antiferético, a la
teoría de la proporción, al método de convergencia,
al estudio de los sólidos regulares). De ahí que
los Elementos no constituyan tampoco un texto marmóreo,
compacto y uniforme: dejan traslucir los diversos grados de desarrollo
de ciertas tradiciones geométricas y aritméticas,
unas más antiguas y otras más recientes, al tiempo
que muestran la contribución, no sólo metódica
sino sustantiva, del propio Euclides a su normalización
como cuerpos de conocimiento establecido.
En este sentido, lo que más ha llamado la atención
es el pórtico axiomatiforme de los Elementos, –la
organización tripartita e inédita hasta entonces
de las asunciones básicas en definiciones, postulados y
nociones comunes–, y el rigor deductivo que gobierna la
prueba de las proposiciones derivadas. Así han pasado a
la historia como la fundación del método axiomático
deductivo. No es un título inmerecido. Pero el excesivo
énfasis en este punto puede resultar injusto hacia la riqueza
de recursos y el proceder informal de las pruebas de los Elementos
(cf. [9] y [12] a este respecto), y puede prestarse a equívocos:
los Elementos no hacen axiomática, ni hacen teoría
abstracta al modo moderno –ni siquiera en el alto nivel
de abstracción de la teoría de la proporción
del libro V–. Carecen de las ideas generales de espacio,
en geometría, y de sucesión numérica, en
aritmética. No contemplan estructuras, sino: [a] unos objetos
construibles –el triángulo, el círculo, etc–,
o dados –la unidad y los enteros positivos n (n = 2)–;
y [b] tres “entidades” o conceptos matemáticos
generales –las magnitudes, las proporciones, los números–
(cf., por ejemplo, [10] y [8]).
En suma, Euclides es un matemático griego clásico,
no un alevín o un remedo de matemático moderno,
aunque los Elementos hayan sido una referencia histórica
obligada, una especie de paradigma, para los programas de axiomatización
“more geometrico”.
BIBLIOGRAFÍA
[1.] I. Bulmer-Thomas,
“Euclid, Life and Works”, en Dictionary of Scientific
Biography (Ch. Gillispie, ed. New York, Charles Scribner &
Sons, 1970-1980, reimpresión 1981); vol. 4, pp. 414-437.
[2]. J. Itard, “Euclide”, en Encyclopaedia Universalis,
Paris, 1985. Corpus, 7, pp. 518-9.
EDICIÓN ESTÁNDAR
Y TRADUCCIONES
[3]. Euclidis opera omnia, vols. I-IV: Elementa. Edición
de J.L. Heiberg. Leipzig, 1883-1886; revisión de E.S. Stamatis,
Leipzig, Teubner, 1969-1973.
[4]. Euclides, Elementos. Introducción de L. Vega; traducción
de MªL. Puertas. Madrid, Gredos, I (Libros I-IV), 1991; II
(Libros V-IX), 1994; III (Libros X-XII), 1996.
[5]. Euclides, Óptica, Catróptica, Fenómenos.
Introducción y traducción de P. Ortiz. Madrid, Gredos,
2000.
http://www.euclides.org
versión catalana de la edición inglesa de Th. L.
Heath (1921, The Elements; edic. disponible en http://perseus.tufts.edu
) y de algunos complementos elaborados por D.E. Joyce.
LIBROS Y ARTÍCULOS
[6]. M. Caveing, “Euclides”, en J. Brunschwig y G.
Lloyd, eds. El saber griego. Madrid, Akal (Diccionarios Akal),
2000; pp. 479-485.
[7]. A. Dou, “Euclides”, en AAVV, Historia de la matemática
hasta el siglo XVIII, Madrid, Real Academia de CC. Exactas, Físicas
y Naturales, 1986, pp. 61-78.
[8]. I. Grattan-Guinness, “Numbers, magnitudes, ratios,
and proportions in Euclid’s Elements: how did he handed
them?”, Historia Mathematica, 23 (1996), 355-375.
[9]. W. Knorr, “What Euclid meant: on the use of evidence
in studying ancient mathematics”, en A.C. Bowes, ed. Science
and philosophy in Classical Greece. New York / London, Garland,
1991, pp. 119-163.
[10]. I. Mueller, Philosophy of mathematics and deductive structure
in Euclid’s Elements, Cambridge (MA) / London, The MIT Press,
1981.
[11]. L. Vega Reñón, La trama de la demostración.
Madrid, Alianza, 1990; c. 4, “Euclides y la práctica
de la demostración matemática”, pp. 269-410.
[12]. L. Vega Reñón, “El rigor informal de
las pruebas matemáticas clásicas”, en L. Vega,
E. Rada y S. Mas, eds., Del pensar y su memoria. Ensayos en homenaje
al prof. Emilio Lledó. Madrid, UNED, 2001; pp. 673-695
.
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