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Subsecciones

   
8.4.6 Intervalo de confianza para la varianza

Para estimar un intervalo de confianza para la varianza, nos ayudaremos de la siguiente propiedad de la distribución ${ \mbox{\boldmath$\chi$ } }^2$:


\begin{displaymath}\chi_{n-1}^2=\sum_{i=1}^n \frac{(X_i - \overline{X})^2}{\sigm...
...{\sigma^2}
\: {\leadsto}\: { \mbox{\boldmath$\chi$ } }_{n-1}^2
\end{displaymath}

Consideremos dos cuantiles de esta distribución que nos dejen una probabilidad $1-\alpha $ en la ``zona central'' de la distribución (cf. figura 8.7):


  
Figura: Cuantiles de la distribución $\chi _{n-1}^2$.
\includegraphics[angle=-90, width=0.7\textwidth]{f8-7.epsi}


\begin{displaymath}\left\{
\begin{array}{l}
{{\cal P}}\left[\chi_{n-1}^2 <\chi_{...
...eq \chi_{n-1}^2
\leq \chi_{n-1,1-\alpha/2}^2 \right]=1-\alpha
\end{displaymath}

Entonces un intervalo de confianza al nivel $1-\alpha $para la varianza de una distribución gaussiana (cuyos parámetros desconocemos) lo obtenemos teniendo en cuenta que existe una probabilidad $1-\alpha $ de que:


\begin{eqnarray*}\chi_{n-1,\alpha/2}^2\leq
\chi_{n-1}^2 \leq
\chi_{n-1,1-\alph...
...gma^2 \leq
\frac{(n-1){\hat{\cal S}^{2}}}{\chi_{n-1,\alpha/2}^2}
\end{eqnarray*}


Por tanto el intervalo que buscamos es

$
\sigma^2 \in
\left[
\displaystyle
\frac{(n-1){\hat{\cal S}^{2}}}{\chi_{n-1,1...
...}
\:\; \:,\:\:\;
\frac{(n-1){\hat{\cal S}^{2}}}{\chi_{n-1,\alpha/2}^2}
\right]
$

8.4.6.1 Ejemplo

En un ejemplo anterior se estudiaba la altura de los individuos de una ciudad, obteniéndose en una muestra de tamaño 25 los siguientes valores:


\begin{eqnarray*}\overline{x}&=& 170 \mbox{ cm}
\\
{\cal S}&=& 10 \mbox{ cm}
\end{eqnarray*}


Calcular un intervalo de confianza con $\alpha=0,05$para la varianza $\sigma ^2$ de la altura de los individuos de la ciudad.

Solución:

Para estimar un intervalo de confianza para $\sigma ^2$ (varianza poblacional) el estadístico que nos resulta útil es:


\begin{displaymath}\chi^2 =
\frac{(n-1)\,{\hat{\cal S}^{2}}}{\sigma^2}
\: {\leadsto}\: { \mbox{\boldmath$\chi$ } }_{n-1}^2
\end{displaymath}

Entonces el intervalo de confianza que buscamos lo obtenemos mediante (cf. figura 8.8)


  
Figura: Percentiles del 2,5% y del 97,5% para la distribución $\chi _{24}^2$.
\includegraphics[angle=-90, width=0.5\textwidth]{f8-8.epsi}


\begin{eqnarray*}\chi_{n-1,\alpha/2}^2\leq \chi^2\leq \chi_{n-1,1-\alpha^2}
&\Lo...
...\\
& &
\\
&\Longleftrightarrow&
\sigma^2\in[63,45\,;\,201,60]
\end{eqnarray*}


Por tanto, para el valor poblacional de la desviación típica tenemos que


\begin{displaymath}7,96\leq \sigma\leq 14,199
\end{displaymath}

con una confianza del 95%, que por supuesto contiene a las estimaciones puntuales ${\cal S}=10$ y ${\hat{\cal S}}=10,206$ calculados sobre la muestra.


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Éste texto es la versión electrónica del manual de la Universidad de Málaga:
Bioéstadística: Métodos y Aplicaciones
U.D. Bioestadística. Facultad de Medicina. Universidad de Málaga.
ISBN: 847496-653-1
Material de apoyo