Sophus Marius Lie fue el penúltimo varón de los siete hijos (cuatro varones y tres hembras) del matrimonio formado por Johann Herman Lie, pastor luterano que vivía en Nordfjordeid y su esposa, Mette Maren. En esa pequeña localidad, situada en la costa occidental noruega, nació Sophus el 17 de diciembre de 1842.

Sus primeros estudios los realizó Lie en la escuela comunal (Realskole) de la ciudad de Moss, adonde se había trasladado su familia en 1851, en la que cursó Primaria y Secundaria. A los 15 años, Lie ingresó en la Nissen's Private Latin School de Christiania (actualmente Oslo, desde 1925). Allí conoció a Ernst Motzfeldt, de su misma edad, con el que inició una gran amistad y que sería para él de gran ayuda a lo largo de toda su vida. Lie pensaba seguir la carrera militar, sin embargo, problemas de visión le hicieron abandonar esa idea. Eso hizo que entrara entonces, en 1859, en la Royal Fredrik's University de Christiania, para estudiar Matemáticas y Ciencias. En esa Universidad, Lie tuvo como profesores, entre otros, a L. Sylow y a C. A. Bjerknes.

En 1865, Lie obtuvo su diploma de licenciado en Ciencias, sin haber mostrado especial habilidad o inclinación por las Matemáticas. Después, tras un tiempo sin saber qué camino seguir, ejerció de tutor de otros estudiantes dándoles clases particulares, al tiempo que perseguía objetivos propios de astronomía y mecánica, hasta 1868. En ese año y tras leer las obras de los geómetras Poncelet y Plücker, Lie se sintió muy atraído por el trabajo de ambos.De hecho, su admiración por estos dos grandes maestros, a los cuales nunca llegó a conocer, se mantuvo toda su vida.

En realidad, había sido un año antes cuando Lie tuvo su primera idea innovadora en Matemáticas. Se le ocurrió durante la noche, por lo que, entusiasmado, salió corriendo a ver a su amigo Motzfeldt, despertándolo y diciéndole:¡Lo he encontrado. Es muy sencillo! Puede decirse que fue a partir de ese momento cuando Lie decidió estudiar Matemáticas.

En 1869, Lie publicó su primer trabajo, que por cierto tuvo que pagar de su bolsillo, basado en la idea de Plücker de considerar unas nuevas geometrías que usaban líneas y curvas como los elementos de un espacio dado, en lugar de los puntos habituales. Posteriormente, Lie escribió una exposición más detallada, con ideas innovadoras para la época, como por ejemplo la introducción del concepto de invariante en Análisis y Geometría Diferencial, que no fue aceptada por algunos matemáticos de su tiempo. De hecho, la Academia de Ciencias de Christiania tuvo sus dudas a la hora de publicar ese trabajo. Lie no tuvo reparos en intentar arreglar esta situación,no dudando en escribir cartas a dos matemáticos prusianos, C. T. Reye y A. Clebsch, pidiéndoles que se le reconocieran sus ideas.

Fue de hecho su amigo Motzfeldt el que le animó a perseverar, consiguiendo por fin Lie publicar su artículo a finales de 1869, en el Crelle's Journal. Ese artículo le sirvió para obtener una beca del Estado que le permitió viajar primero a Göttingen y después a Berlín, donde conoció a matemáticos importantes, como L. Kronecker, E. E. Kummer y K. Weierstrass. Fue precisamente en Berlín donde Lie empezó a confiar en sus propias habilidades matemáticas. De hecho, recibió alabanzas por su trabajo tanto de Kummer como de otros matemáticos que antes le habían ignorado, entre ellos los anteriormente citados Reye y Clebsch. Al respecto, Lie escribió a su amigo Motzfeldt, que seguía en Christiania, diciéndole: desde 1864 a 1868, realmente subestimé mi propia capacidad mental.

Un hecho importante para Lie en esa época fue conocer a un alumno de Plücker llamado Félix Klein. Entre ambos surgió una amistad (que duraría hasta la muerte de Lie), que les llevó a trabajar juntos y a intercambiar ideas de una forma igual de fructífera para los dos.<br><br>

En la primavera de 1870, Lie y Klein decidieron viajar a París y a Inglaterra, por lo que Klein pidió cartas de recomendación para ambos al Ministerio de Educación de Berlín, pero la respuesta fue negativa. De todos modos se fueron juntos a París, donde conocieron a C. Jordan, G. Darboux y a M. Chasles , entre otros. Fue precisamente allí donde Lie descubrió la célebre transformación que lleva su nombre y que establece una relación entre las rectas y las esferas del espacio, por una parte, y entre las líneas asintóticas y las líneas de curvatura de la superficie, por otra.<br><br>

En esta estancia en París, Lie y Klein empezaron a interesarse por los trabajos de E. Galois, de Ch. Hermite y sobre todo, por la virtuosidad de la escuela de geometría de M. Chasles. En esa época, Klein y Lie publicaron sus tres volúmenes Gesemmelte Mathematische Abhandlungen.<br><br>

Aunque en ese momento ambos decidieron viajar a Inglaterra, tuvieron que abandonar esa idea al declararse la guerra franco-alemana en 1870. Klein, por ser de procedencia alemana, tuvo que volver de inmediato a Berlín, mientras que Lie prefirió quedarse en Francia (pudo hacerlo por ser noruego) ya que las discusiones matemáticas que allí encontraba le resultaban estimulantes. Sin embargo, cuando en agosto de ese año el ejército alemán atacó a parte del ejército francés en Metz, Lie decidió que era tiempo de partir y salir hacia Italia, para lo que planeó atravesar Francia a pie. Desgraciadamente, los franceses lo interceptaron en el bosque de Fontainebleau y lo arrestaron al pensar que las notas matemáticas que llevaba eran altos secretos codificados. Lie pasó cuatro semanas en la prisión de dicha localidad, de la que salió gracias a la mediación apurada de Darboux, que consiguió convencer a las autoridades francesas de que las cartas en alemán que Lie tenía en su poder eran inofensivas y trataban sólo de matemáticas. Lie huyó entonces a Italia, desde donde regresó a Christiania pasando por Suiza y Alemania, con el fin de encontrarse de nuevo con Klein.<br><br>

En 1871, la Universidad de Christiania le otorgó una beca de investigación para la obtención del doctorado en ciencias. Durante ese tiempo fue profesor asistente de esta misma Universidad y también del Nissen's Private Latin School, por lo que dio clases en dos de los centros en los que antes había estado como alumno. Se doctoró en julio de 1872 con un trabajo sobre una clase de transformaciones geométricas (en noruego). Esta memoria consistía en las ideas de sus primeros resultados publicados en el Crelle's Journal y además en el trabajo sobre transformaciones de contacto, un caso especial de transformaciones que también había descubierto en París.