| Historia de las Matemáticas | ||||
| Versión para imprimir: | Volver a Divulgamat | ||||
| P. L. CHEBYSHEV (1821-1894) | ||||
 |
Chebyshev
es uno de los célebres matemáticos del siglo XIX,
creador de varias escuelas matemáticas en Rusia: teoría
de los números, teoría de probabilidades, teoría
de aproximación de funciones, teoría de mecanismos
y máquinas, etc. Es autor de más de 80 publicaciones,
algunas de las cuales no tienen títulos matemáticos:
``Sobre un mecanismo", ``Sobre la confección de vestidos",
``Sobre la construcción de mapas geográficos",
``Sobre las ruedas dentadas".. La educación primaria la recibió en casa. Su madre, Agrafena Ivánovna, le enseñó a leer y escribir, mientras que su prima Sújarieva le enseñó la aritmética y el idioma francés, el cual le sería de gran utilidad. En el año de 1832 la familia Chebyshev se trasladó a Moscú, donde Pafnuty siguió completando su educación secundaria también en casa, pero teniendo como tutor en Matemáticas a P. N. Pogorelsky, reconocido en su día como el mejor profesor de matemáticas elementales de Moscú. Pogorelsky escribió alguno de los más populares textos de matemáticas elementales de la época, que ciertamente inspiraron a su discípulo dándole además una sólida formación matemática. Así pues, Chebyshev estaba muy bien preparado para el estudio de las Ciencias Matemáticas a su ingreso, en 1837, en la Universidad de Moscú. Fue el profesor N. D. Brashman quien prácticamente dirigió los estudios universitarios de Chebyshev que finalizaron en el año 1841. Chebyshev siempre expresó un gran respeto por su profesor, atribuyéndole una gran influencia en su posterior desarrollo matemático. El departamento de física y matemáticas en el que Chebyshev estudiaba convocó un premio en el curso 1840-41. Chebyshev presentó un trabajo sobre el cálculo de las raíces de las ecuaciones, en el que resolvía la ecuación y=?(x) usando el desarrollo en serie de la función inversa de ?. El trabajo, no publicado en su momento, fue premiado sólo con la medalla de plata, cuando seguramente fuese merecedor del oro. Su primera tesis magistral “Experiencia sobre el análisis elemental de la teoría de probabilidades” fue defendida en el verano del año 1846 en la Universidad de Moscú, siendo su supervisor, de nuevo, el profesor Brashman. Puesto que Chebyshev no encontró un trabajo satisfactorio en Moscú, se trasladó a la Universidad de San Petersburgo, donde en 1847 defiende su segunda tesis “Sobre la integración mediante logaritmos” consiguiendo con ello el título de profesor adjunto. En el año 1849 defiende su tercera tesis doctoral “Teoría de Congruencias”, obra muy importante en el siglo XIX. Con ella, Chebyshev obtiene el grado científico de Doctor. Esta obra obtuvo un premio de la Academia de Ciencias y durante mucho tiempo sirvió como libro de texto en las universidades, reeditándose en los años 1879 y 1907. En el año 1888 fue traducida al alemán y en 1895 al italiano. Chebyshev trabajó como profesor en la Universidad de San Petersburgo durante 35 años. Desde el año 1847 hasta el 1853 fue profesor adjunto, desde el año 1853 hasta el 1857 fue profesor extraordinario y desde el año 1857 hasta el 1882 fue profesor ordinario, fecha en que se retiró de la enseñanza para dedicarse exclusivamente a la investigación. En este tiempo, acostumbraba a recibir visitas una vez por semana, a unas horas determinadas. Las puertas de su casa estaban abiertas a todos aquellos que necesitasen una consulta o deseasen informar sobre sus investigaciones o recibir algún consejo sobre algún tema. Chebyshev dejó de existir sentado en su escritorio a los 73 años de edad, el 8 de Diciembre de 1894, al día siguiente de la consulta ordinaria con los visitantes. No quiso celebrar sus 25 años y tampoco su 50 aniversario de actividades científicas. Aunque nunca se casó, Chebyshev tuvo una hija, a la que no reconoció oficialmente pero sí ayudó económicamente. Más tarde se encontraría con ella y su esposo, el coronel Leer, y la hija de ambos, en la casa de su hermana Nadiejda en Rudakovo. Las ``dos jóvenes y hermosas hijas" vistas en el funeral d Chebyshev (de acuerdo con las notas autobiográficas de Grave [2]) fueron, presumiblemente, su hija y nieta. A Chebyshev se le reconoce como el creador de la escuela matemática de San Petersburgo cuyo eco e influencia ha llegado hasta nuestro tiempo en muchas ramas de la matemática. Esta escuela se distinguía por la tendencia a relacionar los problemas teóricos de la matemática con los problemas de la técnica y de la naturaleza. Según el propio Chebyshev “la unión de la teoría y la práctica proporciona los resultados más provechosos. Con ello, no sólo gana la práctica, sino que también salen beneficiadas las ciencias. La práctica descubre a la teoría nuevos objetivos de investigación o nuevas facetas en los objetos ya conocidos”. En otra ocasión escribe: “Entre la inmensa cantidad de problemas que plantea a la humanidad la actividad práctica del hombre, se destaca el siguiente: Cómo deben disponerse los medios para alcanzar el máximo provecho posible”, y añade más adelante: “La mayor parte de los problemas prácticos se reducen a problemas de máximo y mínimo que son nuevos para la ciencia y sólo su resolución puede satisfacer a la práctica, que siempre busca lo mejor y más ventajoso”. Los méritos de Chebyshev fueron debidamente reconocidos en su tiempo. Fue miembro honorífico de todas las universidades rusas, así como de la Academia de Artíllería. Fue elegido miembro correspondiente de la Real Sociedad de las Ciencias de Lieja y de la Sociedad Philomathique en 1856, de la Academia de Ciencias de París en 1860 y miembro extranjero de esta en 1874, en 1871 miembro correspondiente de la Academia de Ciencias de Berlín, de la Academia de Bolonia en 1873, miembro de la Real Sociedad de Londres en 1877, de la Academia Real de Italia en 1880 y de la Academia de Ciencias de Suecia en 1893. En el año 1890, y a petición del Presidente de la Academia de Ciencias de París, el conocido matemático francés Ch. Hermite, se concede a Chebyshev la orden de la Legión de Honor. Con el objeto de obtener un mayor reconocimiento, Chebyshev creía necesario publicar también fuera de su país y, por ende, en otra lengua distinta de la rusa, que debido a su formación fue el francés. Su primer trabajo fue sobre integrales múltiples y lo remitió en 1842 al ``Journal des mathématiques pures y appliquées", fundado por Liouville en 1836, y llamado familiarmente ``Liouville's Journal", apareciendo en la revista en 1843. No se sabe con certeza cómo llegó el manuscrito a las manos de Liouville. El trabajo presentaba una fórmula sin demostrar y sorprendentemente la revista contenía un trabajo de Catalan (1814-1894) dando una demostración de dicha fórmula. Explicaciones sobre este hecho pueden verse en [3]. Su segundo y tercer trabajo, también en francés, fueron dedicados a la convergencia de las series de Taylor y a la teoría de la probabilidad, respectivamente, y fueron publicados por Crelle en su ``Journal für Reine und Angewandte Mathematik" (1844, 1846). De nuevo se desconoce cómo hizo llegar los trabajos a la editorial. Chebyshev publicó un solo trabajo más en ``Crelle Journal", fue en 1855, año de la muerte de Crelle. Después publicaría en el recién creado Bulletin de la Société Mathématique de France. Chebyshev realizó
múltiples giras científicas por Europa, destacando
sus estancias en Francia, sobre todo las de París. Aquí
se solía hospedar en el hotel Corneille, enfrente de Odeón,
comía en restaurantes baratos y viajaba en los omnibuses.
En Francia estuvo al menos en los años 1852, 1856, 1864,
1873, 1875, 1876, 1878, 1882, 1884, 1893. Nunca hizo referencias
a estas giras, exceptuando la del año 1852, de la que existe
una detallada descripción. Durante estos viajes, tuvo contactos
con los matemáticos franceses Liouville, Hermite, Bienaymé,
Serret, Lebesgue, Poncelet (si no directamente con él, sí
con el círculo de sus ideas), con los matemáticos
ingleses Cayley y Silvester, y con el matemático alemán
Dirichlet, disfrutando tanto de las discusiones científicas
como de la atmósfera de libertad reinante por Europa. Por
último señalemos que en 1868 apoyó sin éxito
el ingreso de Sonia Kovalévskaya en la Facultad de Matemáticas
de San Petersburgo y que ella, discípula de Weierstrass,
por medio de sus frecuentes contactos con Chebyshev, ejerció
de transmisora entre ellos y entre sus respectivas escuelas matemáticas A efectos de un resumen podemos clasificar los trabajos matemáticos de Chebyshev en las cuatro ramas siguientes: Mecanismos y Teoría de la Aproximación de Funciones, Teoría de los Números, Teoría de Probabilidades y Teoría de Integración. Sin embargo escribió acerca de muchos otros temas: formas cuadráticas, construcción de mapas, cálculo geométrico de volúmenes, etc. Mecanismos y Teoría
de la Aproximación de Funciones Durante su estancia en el
extranjero en el año 1852, Chebyshev visitó varias
factorías de construcción de maquinaria, interesándose
especialmente por las máquinas de vapor construidas por el
escocés James Watt (1736-1819). Dedicó mucha atención
al perfeccionamiento del mecanismo, llamado paralelogramo de Watt,
que convierte el movimiento circular en rectilíneo. Este
mecanismo, fundamental en las máquinas de vapor, resultaba
tan imperfecto que la varilla del pistón realizaba un recorrido
curvilíneo en vez del rectilíneo deseado, dando lugar
a muchas fricciones que estropeaban las máquinas. El propio
Watt y las siguientes generaciones de ingenieros intentaron mejorarlo
sin mucho éxito durante los 75 primeros años después
de su invención. Chebyshev, con su nueva teoría de
aproximación de funciones, no solo resuelve el paralelogramo
de Watt, sino que sus fórmulas generales permiten la resolución
de otros tipos de mecanismos y problemas. Este descubrimiento quedó
plasmado en sus trabajos [4,5], los cuales marcan el comienzo de
sus 40 años de investigación sobre aproximación
y el estudio de mecanismos. Chebyshev fue el creador de otros muchos
mecanismos y máquinas que asombraron a sus contemporáneos
por su ingenio. Por ejemplo, construyó una máquina
que andaba, imitando el movimiento de un animal. Su mecanismo más
elaborado fue un aritmómetro, construido por la firma Gautier
en París. El movimiento paralelo de Chebyshev son tres barras
articuladas AB, BC, AD cuyo punto de trazado P se aproxima al movimiento
rectilíneo. En total construyó más de 40 mecanismos
distintos y cerca de 80 modificaciones más de los mismos.
En 1893, con motivo del 400 aniversario del descubrimiento de América
por Cristóbal Colón, se realizó una exposición
mundial en Chicago, exhibiéndose siete de sus inventos mecánicos,
incluyendo su invento de una bicicleta especial para mujeres. También estuvo cerca de demostrar el Teorema del Número Primo (T. N. P.): Sea ?(x) la cantidad de números primos menores o iguales que x. Evidentemente ?(x) ? ?cuando x ? ? puesto que existe una infinidad de números primos ("Elementos" libro IX, Euclides, 300 a. C.). El comportamiento de ?(x) como función de x ha sido objeto de estudio de muchos matemáticos ilustres a partir del siglo XVIII. Usando tablas de números primos, Gauss (1792) y Legendre (1798) observaron que para x grande, el cociente ?(x)log(x)?x era próximo a 1 y conjeturaron que este cociente tendía a 1 cuando x tiende a ? (T. N. P.). En 1848 fue Chebyshev quien demostró, que si dicho cociente tenía límite, este límite debía ser 1. Sin embargo, no fue capaz de demostrar que el cociente tenía límite. La prueba de este resultado fue completada solamente dos años después de la muerte de Chebyshev, por Hadamard y por de la Vallée Poussin, independientemente uno del otro. Teoría
de Probabilidades: 
Estos trabajos dieron un
fuerte impulso a la escuela probabilística rusa, siendo especificados
sus resultados por sus alumnos, en particular A. A. Márkov
y Liapunov. 
con P(x), R(x) polinomios, es expresable
mediante logaritmos, entonces se verifica  donde
p y q son funciones enteras y c es una constante. En 1852, Chebyshev,
a instancias de Liouville y Hermite, consideró la integral
general
donde ?(x) es una función racional y R(x) es un polinomio.
Además generaliza la función Beta y examina integrales
de la forma ?xm(a+bxn)p dx donde m,n,p son números racionales.
Más precisamente encontró que los únicos casos
de integrabilidad se dan cuando: p es entero; (m+1) ? n o ((m-1)
? n)+p son números enteros.BIBLIOGRAFÍA [1] E. Aparicio, ``Chebyshev y los números primos", Actas de las IV Jornadas matemáticas Luso-Españolas, Jaca, (1977), 157-182. [2] A. N. Bogolyubov, D. A. Grave, ``autobiografical notes", Istorikomatematische issledovania 34 (1993), 219-246. (en Ruso) [3] P. Butzer and F. Jongmans,
``P. L. Chebyshev (1821-1894): A guide to his life and Work",
J. Approx. [4] P. L. Chebyshev,``Théorie des mécanismes connus sous le nom de parallélogrammes", Mém. des sav. étr. prés. à l'Acad. de St. Pétersb. 7 (1854), 539-568. [5] P. L. Chebyshev, ``Sur les questions de minima qui se rattachent à la représentation approximative des fonctions", Mém. Acad. St. Pétersb. 7 (6) (1859), 199-291. [6] P. L. Chebyshev, ``Sur deux théorèmes relatifs aux probabilités", Acta Math. 14 (1890-1891), 305-315. [7] P. L. Chebyshev, ``Complete Collected Works (1946-1951)", Izdatel'stvo Akad. Nauk SSR, Moscow/Leningrad [Vol. I (1946), 342 pp.; Vol. II (1947), 520 pp.; Vol III (1948), 414 pp.; Vol IV (1948), 255 pp. Vol V, other works, biographical materials (1951), 474 pp.] [8] K. V. Chebysheva, ``Some information on ancestors and descendants of the Chebyshev family", Istoriko-matematicheskie issledovania 32-33 (1990), 431-450. (en Ruso) [9] H. G. Diamond, ``Elementary methods in the study of the distribution of prime numbers", Bull. Amer. Math. Soc., Vol. 7, No. 3, Nov. (1982), 553-589. [10] V. L. Goncharov, ``The theory of best approximation of functions", J. Approx. Theory 106 (2000), 2-57. [11] A. B. Kempe, ``How to draw a straight line; a Lecture on linkages", Nature Series, MacMillan and Co. (1877). [12] A. Pinkus, ``Weierstrass and Approximation Theory", J. Approx. Theory 107 (2000), 1-66. [13] V. E. Prudnikov, ``Pafnuty Lvovich Chebyshev, 1821-1894", Nauka, Leningrad, 1976. (en Ruso) [14] A. Talbot, ``Approximation Theory or a miss is better than a mile", Inaugural Lecture delivered at the University of Lancaster, (1970). [15] V. M. Tikhomirov, ``Commentary on the article by V. L. Goncharov, The theory of best approximation of functions", J. Approx. Theory 106 (2000), 58-65. En la Web Sobre Chebyshev http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/\~history/Mathematicians/Chebyshev.html http://www.brockeng.com/mechanism/index.htm http://www.math.unifi.it/archimede/archimede/curve/visita/meccanismowatt.htm 
|
|
||
| Autor: Francisco
Luquin (Universidad del País Vasco) |
||||
Es
en [4] donde sienta las bases de la teoría de aproximación
formulando el siguiente problema: Dada una función continua
?(x), encontrar un polinomio de grado dado, tal que el máximo
de su desviación de ?(x) en un intervalo dado, sea más
pequeño que el de los otros polinomios del mismo grado. En
este trabajo también aparece su famoso polinomio por primera
vez. Temáticamente, el trabajo total de Chebyshev sobre aproximación
incluye la teoría de polinomios ortogonales, interpolación,
teoría de momentos, método de cuadraturas y fracciones
continuas.