Los números amigos:

Recordemos que dos números se llaman amigos si la suma de los divisores propios de cada uno de ellos es igual al otro, y que la más sencilla pareja de números amigos (ya conocida por los pitagóricos) es la de 220 y 248. Tabit ben Qurra demostró que si para un cierto número natural n son primos los números:

entonces son amigos los números La demostración es muy elemental:

De modo muy parecido se demuestra que los divisores propios de a suman b. Este descubrimiento de Tabit ben Qurra permite elaborar la siguiente tabla de números amigos:

Una generalización del teorema de Pitágoras.

Si trazamos desde el vértice A de un triángulo dos rectas AD y AE tales que los ángulos ADB y AEC sean iguales a A, entonces sucede lo siguiente:


Es muy fácil llegar a esta igualdad generalizando la demostración que del teorema de Pitágoras aparece en el libro I de los Elementos. En efecto, repitiendo al pie de la letra el razonamiento de Euclides sobre la figura que viene a continuación, vemos que:

Cuadrado rayado en negro = rectángulo rayado en negro
Cuadrado rayado en rojo = rectángulo rayado en rojo

Sumando miembro a miembro estas igualdades (suponiendo A obtuso), llegamos a lo siguiente:

y ya tenemos el teorema. Si A fuera agudo, los rectángulos rayados en rojo y negro se superponen y los puntos D y C invierten sus papeles, pero el razonamiento es idéntico. Si A es recto, tenemos el teorema de Pitágoras