Dios siempre hace Geometría. La cosmogonía poliédrica del Timeo de Platón.

El Timeo es un grandioso mito cosmogónico de raíz pitagórica donde Platón describe con abundancia de detalles cuáles son las formas fundamentales inteligibles que imponiéndose a una materia primitivamente informe, han presidido la concepción y realización del orden cósmico, en la génesis de toda la naturaleza. La acción demiúrgica del Dios geómetra soberano geometriza el universo y lo diseña según las leyes de la Matemática, disponiendo los cuatro elementos en la forma y número que exige la necesaria y bella armonía matemática (Timeo,53a–53b). Con un inusitado despliegue de fantasía geométrico-cósmica, Platón dibuja el mundo físico y explica los fenómenos naturales en clave geométrica mediante una trasferencia de propiedades del mundo matemático al mundo natural.

Cuatro de los poliedros regulares –tetraedro, octaedro, icosaedro y cubo– que son las formas geométricas más bellas, son, respectivamente, los átomos de los elementos –fuego, aire, agua y tierra–. Pero los elementos primigenios originales constituyentes del mundo material no son propiamente estos poliedros, sino sus componentes geométricos, formados por dos clases de triángulos rectángulos –los triángulos más bellos–; uno es medio cuadrado, es decir, isósceles, que compone el cuadrado cara del cubo y otro es medio triángulo equilátero, que compone las caras triangulares equiláteras de los otros tres poliedros. En cuanto al dodecaedro, cuyas caras no se pueden componer con los triángulos más bellos, Platón sugiere que es la forma general del universo (54d–55c). Tras la lectura del fastuoso Timeo uno entiende que a los poliedros regulares se les llama Cuerpos platónicos.

En la Imagen, Platón con el rostro de Leonardo. Fragmento de la Escuela de Atenas de Rafael. Platón sostiene en una mano El Timeo y eleva hacia el cielo el dedo índice de la otra mano como indicando lo ideal y lo sublime.

La Matemática de la Academia platónica. Fundamentos de la Matemática.

Según el testimonio de Proclo, en su Comentario al Libro I de Los Elementos de Euclides, la Matemática del siglo anterior a Euclides estuvo dominada por la Academia de Platón:

«Platón dio a las Matemáticas en general, y a la Geometría en particular, inmenso impulso gracias al celo que desplegó por ellas y del que son testimonio suficiente sus escritos llenos de discursos matemáticos, y que, a cada momento, despiertan el entusiasmo por estas ciencias en aquellos que se entregan a la Filosofía.»

Platón fue, efectivamente, un gran promotor de numerosos matemáticos a los que Proclo cita, a continuación, y atribuye diversas actuaciones en Matemáticas que dan una idea de la naturaleza de la Matemática que crean bajo la orientación de Platón:

Texto de Proclo sobre los matemáticos de la Academia platónica (Comentario al Libro I de Los Elementos de Euclides)

• «Multiplicaron los teoremas y los pusieron en un orden más sistemático.» • «Añadieron muchas soluciones a los problemas anteriores.» • «Ampliaron considerablemente los conocimientos precedentes y compusieron Elementos muy superiores por el número y por la importancia de las demostraciones.» • «Descubrieron las delimitaciones para saber cuándo es posible resolver un problema que se investiga y cuándo es imposible.» • «Hicieron uso del Análisis para resolver las cuestiones suscitadas por Platón.» • «Perfeccionaron el conjunto de la Geometría al convertir en generales muchas definiciones y proposiciones particulares.» • «Se distinguieron tanto en Matemáticas como en el resto de la Filosofía.» • «Todos estos sabios se reunían en la Academia y realizaban sus investigaciones en común.» • «Realizaron investigaciones siguiendo las instrucciones de Platón planteándose cuestiones acerca de lo que podía contribuir a la Filosofía de su maestro.»

De acuerdo con las declaraciones de Proclo, ratificadas por las investigaciones de los historiadores modernos, Platón y los matemáticos de la Academia ampliaron de forma considerable el acervo matemático, clarificaron algunas definiciones, reorganizaron las hipótesis de partida, rehicieron muchas demostraciones, generalizaron numerosos teoremas, resolvieron una gran cantidad de problemas pendientes, escribieron Elementos a base de reordenar el Corpus geométrico de forma sistemática y jerárquica, seleccionando los problemas y teoremas que se toman como elementales (de ahí el nombre de Elementos), y lo más importante: discutieron los Fundamentos de las Matemáticas y se interesaron especialmente por la metodología de la investigación matemática, que se benefició considerablemente del Método de Análisis, llamado Método platónico. Todo ello en colaboración y bajo la inspiración, dirección e instrucción del maestro Platón, que siempre daba una orientación filosófica a todas las investigaciones. Platón sería el primero en sistematizar las reglas de la demostración rigurosa y en comenzar una ordenación de los teoremas según una jerarquía lógica, iniciando un proceso de organización y estructuración deductiva de la Matemática que culminaría Euclides con Los Elementos. A partir de Platón la demostración deductiva, a partir de los principios, se consideró necesaria y consustancial con la propia naturaleza de la Matemática, estableciendo un paradigma de actuación en Matemática que nunca ha sido relevado hasta ahora. Asimismo, La Academia de Platón se planteó ya de forma clara la cuestión de si un problema dado tenía solución o no sobre la base de las verdades conocidas y de las hipótesis admitidas.

Entre los matemáticos más eminentes de La Academia debemos citar a Teeteto, Menecmo y Eudoxo. Teeteto realizó importantes contribuciones al estudio y construcción de los poliedros, los llamados cuerpos platónicos, de modo que se le atribuye la paternidad de la mayor parte del Libro XIII de Los Elementos de Euclides. Menecmo, que fue durante un tiempo maestro de Aristóteles y de Alejandro Magno, es el descubridor de las secciones cónicas en relación con el problema de la Duplicación del cubo. Eudoxo resolvió, mediante el Axioma de continuidad, la Teoría de la Proporción y el Método de exhaución, la primera crisis de fundamentos en la Historia de la Matemática provocada por la aparición de la inconmensurabilidad en el mundo pitagórico.

Aparte de la solución a la primera crisis de fundamentos provocada por los inconmensurables, quizá lo más relevante de la Academia platónica sea la aplicación universal del método analítico, en la investigación de problemas geométricos que alcanzará plenos frutos cuando dos mil años después al aunarse con las técnicas algorítmicas del Álgebra simbólica, produzca la eclosión inexorable de la Geometría Analítica y del Análisis Infinitesimal, los más potentes instrumentos matemáticos que reciben del Análisis geométrico griego no sólo el nombre sino también los procedimientos. La imputación a Platón del Método de Análisis se basa en algunos pasajes del Menón (86e–87a) y la República (510c) y la Ética a Nicómaco (1095a) de Aristóteles, en relación con ciertos métodos geométricos «por hipótesis» en los que, según Platón, para sus investigaciones los geómetras utilizan elementos desconocidos como si realmente los conocieran. Mediante el Análisis se asume como cierto aquello que hay que probar y se razona con base en esta asunción hasta llegar a algo que forma parte de los principios –hipótesis–, es decir, uno se remonta de forma regresiva hasta los puntos de partida o siguiendo el curso lógico de los razonamientos se alcanza un resultado cierto por haber sido previamente establecido. Si entonces podemos invertir la secuencia de los pasos anteriores, el resultado –Síntesis– es una prueba legítima del teorema que había que probar. Así pues, el Análisis viene a ser un procedimiento sistemático de descubrir «condiciones necesarias» para que un teorema sea cierto, de modo que si por medio de la Síntesis se muestra que estas condiciones son también «suficientes», se obtiene una demostración correcta de la proposición. Aunque los textos aludidos de Platón no son muy aclaratorios de la cuestión siempre se le ha atribuido a Platón las bases del método analítico como procedimiento metodológico capital para el progreso de la Matemática y su formulación en las lecciones que impartía en la Academia.

La influencia de Platón en la Historia del Pensamiento y de la Matemática.

La influencia de Platón a través de la Historia de la Cultura y del Pensamiento ha sido inmensa. Una armoniosa combinación del misticismo y panmatematismo pitagóricos, la Lógica y la Metafísica de Parménides y una herencia socrática directa, basada en una Ética y una Política fundamentadas en la idea suprema del Bien como base de toda Filosofía, forjaron en la mente preclara de Platón una síntesis poderosa que creó una atractiva doctrina de gran originalidad, satisfactoria tanto para el intelecto como para el sentimiento religioso, de ahí la influencia decisiva de Platón tanto en la mayoría de los grandes filósofos, como en los grandes pensadores cristianos e islámicos.

El influjo de las ideas platónicas en el pensamiento judío es manifiesto en la obra del filósofo alejandrino del siglo I Filón de Alejandría. El neoplatonismo, fundado en el siglo III por el filósofo Plotino, supuso un importante desarrollo y una gran difusión posterior de las ideas de Platón. Los teólogos Clemente de Alejandría, Orígenes y San Agustín fueron los primeros pensadores cristianos cuyas ideas convergen con el Platonismo. De hecho la Filosofa platónica tuvo un papel crucial en el desarrollo del cristianismo al constituir el principal apoyo intelectual de la Teología cristiana. También el pensamiento islámico medieval bebió en las ideas de Platón, llegando incluso los árabes a redescubrir y traducir muchos de su Diálogos. A partir del Renacimiento los humanistas estudiaron con avidez las obras de Platón en los originales griegos redescubiertos gracias a la ingente labor de recuperación y restauración del legado clásico, colmando los ambientes intelectuales de traducciones latinas e incluso de versiones de los Diálogos en lenguas vernáculas, debido a lo cual la inspiración y la fuerte carga matemática de la Filosofía de Platón desempeñaría un papel fundamental como guía cardinal del pensamiento científico de Nicolas de Cusa, Luca Pacioli, Kepler, Galileo, y otros filósofos y matemáticos, e incluso a través de los platónicos de la Escuela de Cambridge, también de Newton.

También en la Filosofía de la Estética y del Arte la influencia de Platón ha sido muy significativa. La fuente primaria de la armonía y la proporción en el Arte se encuentra en los conceptos matemáticos del universo pitagórico–platónico. Si ciertas relaciones numéricas y formas geométricas encarnaban, según el Timeo, la verdad absoluta de la estructura armónica y ordenada del Cosmos, el Arte debía dar expresión a ese orden apoyándose en la verdad eterna y universal de los números y las relaciones espaciales. De acuerdo con Platón, para los artistas, la forma en sí sólo era la esencia del Arte si derivaba de ciertas relaciones numéricas sobre la base de precisos módulos y cánones, aritméticos y geométricos, expresión última de las formas mismas en sentido de la Teoría de las Ideas.

El propio Vitrubio recurre al Timeo (44d) para establecer que las proporciones del perfecto cuerpo humano deben ser el reflejo del orden y la armonía cósmicos, pudiendo por tanto ser inscrito en las formas geométricas ideales –el cuadrado y el círculo–, y así aparece el «homo ad quadratum» y el «homo ad circulum». Además, cada parte de un edificio, tanto en el interior como en el exterior, tiene que ser integrada en un mismo sistema de relaciones matemáticas, que deben reflejar las proporciones de la figura humana. Así la Filosofía platónica va imponiendo una visión estética que culmina en los teóricos y artistas del Renacimiento (Pacioli, Leonardo, Durero, Alberti, Barbaro, Palladio, etc.) que creen firmemente, con Platón, que Dios al haber ordenado el universo según unas leyes matemáticas inmutables, creó un mundo bellamente proporcionado cuya armonía se refleja en el cuerpo del hombre, de donde deben surgir las proporciones de su templo terrenal.

La actitud filosófica de Platón ante la Ciencia, la Matemática y la Educación es una constante secular, asimilada y analizada, ensalzada y alabada, criticada y enjuiciada, en la Historia del Pensamiento. Platón ha tenido una decisiva incidencia en la estructura que han configurado la Matemática como ciencia. La Academia platónica se convirtió en el centro matemático del mundo. En ella trabajaron y de ella salieron los principales investigadores del siglo IV a.C., célebres matemáticos que, como hemos señalado, además de magnificar de forma considerable el patrimonio matemático, debatieron y resolvieron, en sus discusiones académicas, cuestiones trascendentales de las Matemáticas relacionadas con sus propios fundamentos y con la metodología de la investigación y el razonamiento matemáticos. Estos asuntos, fruto de las exigencias de Platón sobre los esfuerzos de definición y reflexión sobre los principios y los objetos de la Matemática, establecerían las bases y los presupuestos de Los Elementos de Euclides, cuya paternidad en su mayor parte, tanto en contenido como en estructura lógica, corresponde a los matemáticos de la Academia, que reconstruyen las demostraciones de los teoremas pitagóricos que habían quedado invalidados por la aparición de los inconmensurables (resultados que pasarán a los cuatro primeros libros de Los Elementos de Euclides), tras la resolución por Eudoxo de la correspondiente crisis de fundamentos con la Teoría de la Proporción que Euclides incluirá en el Libro V, y en la que basará toda la Geometría de la semejanza del Libro VI. Eudoxo introduce también el Método de Exhaución que resuelve de forma rigurosa problemas infinitesimales que aparecerán en el Libro XII de Los Elementos, mientras Teeteto realiza el exhaustivo estudio de los irracionales cuadráticos que aparece en el prolijo Libro X, y el no menos completo y profundo estudio geométrico de los Poliedros regulares, tan queridos y admirados por su maestro Platón, con el que se corona de forma brillante, en el Libro XIII, la gran Biblia euclídea de Los Elementos, una construcción ontológica y antológica de la Matemática geometrizada de los griegos, que, por su indudable ascendencia platónica, bien podemos suscribir las palabras que escribe G. Reale en su obra Platón. En búsqueda de la sabiduría secreta (Herder, Barcelona, 2001. p.213): «Con todo derecho la Geometría de Euclides habría que denominarla Geometría platónica.»

La Teoría de la Proporción y el Método de Exhaución que nacen en la Academia platónica tienen una gran influencia sobre las concepciones aristotélicas del infinito y la Teoría de la Potencia y el Acto, y en las manos de Arquímedes se convierten en un poderoso instrumento de convalidación apodíctica de sus impresionantes resultados infinitesimales descubiertos por vía mecánica, que serán la fuente de inspiración de los matemáticos que anticipan el descubrimiento del Cálculo Infinitesimal en el siglo XVII y la aritmetización del Análisis del siglo XIX a través del concepto de límite.

La Academia de Atenas fue durante la época helénica el núcleo principal de la especulación filosófica y matemática del mundo griego, y aunque el centro de gravedad de la actividad matemática se desplazó en la época helenística, en torno al año 300 a.C. hacia Alejandría, la Academia siguió ostentando su preeminencia en Filosofía durante todo el periodo alejandrino. De hecho la actividad filosófica duró casi 900 años hasta su clausura en el año 529 d.C. por el emperador bizantino Justiniano. Una cifra más de la influencia de Platón como adelantado en la Historia de la Cultura surge al subrayar que la Academia es el primer antecedente de las universidades, de los institutos científicos, y en general de las instituciones académicas posteriores. De ahí la importancia de la figura de Platón en la Historia de la Educación y de la investigación.

La Matemática es para Platón la aristocracia intelectual del conocimiento. Por eso en la Academia de Platón «está prohibida la entrada a toda persona que no sepa Geometría». La Matemática tiene la misión pedagógica de formar el intelecto y es el fundamento de la Filosofía y de todo el saber. Son múltiples las reflexiones de Platón en la República acerca de la importancia de la Matemática en la Educación, término que en griego –Paidea– se refiere al cultivo del ser humano en todas sus facetas con la intención de convertirlo en un buen ciudadano que ame el Bien y la Justicia, es decir, que sea virtuoso. Con razón, Rousseau, en su emblemático tratado sobre la Educación, Emilio, pondera el inconmensurable valor de la República de Platón, no como una obra de política sino como es el más excelente tratado de Educación que jamás se haya escrito. Platón concreta la educación matemática en las llamadas después cuatro Artes Liberales del Cuadrivium pitagórico, de secular fortuna en los programas educativos de las universidades medievales y base de los estudios elementales de la tradición pedagógica occidental, sobre todo la Aritmética y la Geometría, hasta hace pocas décadas. En este aspecto la herencia de Platón también es trascendental.

La Filosofía de la Matemática de Platón que tanta trascendencia ha tenido en la evolución ulterior de esta ciencia, plasmada en un bellísimo lenguaje en numerosos Diálogos platónicos, sobre todo en la República y el Timeo, ha configurado secularmente lo que se llama Platonismo en la Matemática, como firme creencia en la existencia de entidades matemáticas abstractas propias del espíritu humano, pero independientes de él. Todavía en el siglo XX, matemáticos de la talla de G.H. Hardy alimentaron esta Filosofía (Apología de un matemático. Nivola. Madrid, 1999. p.115). De hecho La impresionante concepción ontológica platónica de los entes matemáticos ha ejercido a lo largo de toda la historia una singular atracción sobre todos los matemáticos y ha contribuido a fijar la forma, las raíces y las características del pensamiento matemático. Todavía hoy, el Platonismo –depurado de sus múltiples elementos míticos– sigue siendo una de las filosofías de la Matemática más vivas e influyentes. Muchos matemáticos actuales piensan que están investigando el mundo de las estructuras abstractas, un mundo eterno, necesario e independiente de nosotros, actitud platónica origen en el origen de la distinción radical entre la Matemática pura como aventura mental –desplegada por el mero honor del espíritu humano, como diría Jacobi– y por tanto independiente de la experiencia y de la observación, y la Matemática aplicada como mero instrumento de comerciantes, artesanos, técnicos y hombres de negocios. Pero la propia concepción platónica de la Matemática como pensamiento discursivo e instrumento de tránsito de lo sensible a lo inteligible es precisamente un pegamento entre los dos tipos de Matemática aludidos. El idealismo platónico y la investigación sin perseguir la utilidad inmediata ha formado parte a lo largo de toda la historia de la filosofía de trabajo del matemático que especula en la topología de un territorio de ideas que el espíritu explora sin doblegarse a la dimensión sensible de la realidad. En este sentido, buena parte de los matemáticos son platónicos y les fascina su afinidad espiritual con el fundador de la Academia.

La alta valoración que siempre ha gozado la Matemática; su estimación como expresión de los más elevados intereses especulativos del hombre incidentes sobre la Filosofía y la Ciencia, la Política y el Arte, la Educación y la Cultura en general; exponente de su más genuina capacidad de razonar; es de origen platónico. Sin ser propiamente un matemático, es impresionante, casi milagroso, el magnífico impacto e influjo de Platón sobre el curso del rumbo que tomaría, a partir del siglo IV a.C., la más antigua de las ciencias, la Matemática.

Para finalizar, recogemos palabras de B.Russell para expresar que pocos filósofos, han alcanzado la amplitud y profundidad del pensamiento de Platón; ninguno le ha superado; y cualquiera que aborde la investigación filosófica o matemática hará mal en ignorarle. Apoyemos estas palabras con el testimonio de un gran pensador, el filósofo, lógico y matemático Alfred N. Whitehead –maestro y colaborador de B.Russell en su monumental obra Principia Mathematica–, que quiso rendirle un encomiástico tributo a Platón al escribir en su obra Process and Reality de1929 el siguiente panegírico:

«La más acertada descripción del conjunto de la tradición filosófica europea es la que consiste en una serie de notas a pie de página a la obra de Platón.»