La Teoría platónica de las Ideas y los entes matemáticos.

El intento de fundamentar el saber matemático debió de ser una de las motivaciones platónicas para desarrollar la Teoría de las Ideas, pero a su vez el origen matemático de la misma es un aspecto esencial de la importancia de la Matemática en la naturaleza y desarrollo de la Filosofía platónica. La Teoría platónica de las Ideas o las Formas proviene de una convergencia y síntesis muy coherente de la cosmovisión panmatemática pitagórica, de la radical distinción entre lo sensible y lo inteligible de Parménides, y de la preocupación socrática por la definición y el concepto, verdadero antecedente de la idea y la forma platónica. Es justamente en el terreno matemático en el que mejor se ilustra la Teoría de las ideas de Platón. Un círculo, por ejemplo, se define en Geometría como una figura plana compuesta por puntos que equidistan de uno dado. Pero nadie ha visto en realidad esa figura ni se podrá ver jamás. La forma circular de los geómetras no se encuentra entre los objetos sensibles. Lo que vemos con frecuencia son figuras –un plato, una rueda, la luna llena–, objetos materiales que también llamamos círculos y que resultan ser, en la forma, aproximaciones al círculo ideal. Por tanto, la forma de círculo existe, no en el mundo físico, sino en el ámbito de las ideas, como un objeto inteligible, inmutable e intemporal, que sólo puede ser aprehendido mediante la razón.


La Teoría de las Ideas tiene su origen en las formas geométricas pero no se limita a ellas. Es más, la pretensión de Platón es alcanzar en su idealismo a todo el campo de la Moral. Si en nuestro mundo no hay nada que sea absolutamente circular, tampoco hallamos nada absolutamente bueno o justo. Y si la objetividad de la Geometría obliga a postular la existencia de la forma perfecta de círculo inteligible, separada del objeto circular sensible que se aproxima o se parece a la forma ideal, así también la necesidad de salvaguardar la objetividad de la Moral obliga a postular la existencia de las formas ideales y perfectas del Bien y de la Justicia, separadas de la personas e instituciones terrenales que deben aproximarse a ellas. Las ideas o formas tienen mayor entidad que los objetos del mundo físico tanto por su perfección, eternidad e inmutabilidad, como por el hecho de ser modelos canónicos que conceden a los objetos sensibles lo que tienen de realidad. Cada cosa es lo que es en virtud de su parecido con su idea universal. Las ideas o formas platónicas son paradigmas de las que las cosas sensibles son imitaciones. Las formas geométricas circular, cuadrada y triangular, etc., son excelentes ejemplos de lo que Platón entiende por idea. Un objeto que podemos contemplar en el mundo físico puede ser llamado círculo, cuadrado o triángulo porque imita, se parece (“participa de” en palabras de Platón) a la idea de círculo, cuadrado o triángulo. La cosa participa de la idea y, por esa participación, es semejante a ella; la idea es, pues, una realidad superior presente en la cosa y al mismo tiempo original o arquetipo. De estas cuestiones escribe Platón en diversos pasajes del Filebo (25a), la República (476a–476d), el Fedón (100a, 101c), etc. La Teoría de las Ideas está muy dispersada a lo largo del texto de estos Diálogos y de otros como el Menón, el Fedro y el Banquete, e incluso para su conocimiento completo debemos acudir a Aristóteles, sobre todo los capítulos 6 (987b) y 9 (990a) del Libro I de la Metafísica de Aristóteles.

Volumen primero de las obras completas de Platón en griego antiguo y latín, edición de 1856, Ed. A. Firmin-Didot, Paris

La Filosofía de la Matemática de Platón.

Por herencia pitagórica, para Platón los conceptos de la Matemática son independientes de la experiencia, se los descubre, no se los inventa o crea. Los juicios geométricos son eternos y apriorísticos, y corresponden a una realidad intemporal e inmutable, que es la auténtica realidad, más real que la engañosa, imperfecta e incompleta realidad sensible. De acuerdo con su idealismo geométrico, Platón subraya que los razonamientos que hacemos en Geometría no se refieren a las figuras concretas que dibujamos sino a las ideas absolutas que ellas representan (República, 510d–510e):

«[Los matemáticos] se sirven de figuras visibles que dan pie para sus razonamientos, pero en realidad no piensan en ellas, sino en aquellas cosas a las que se parecen. Y así, por ejemplo, cuando tratan del cuadrado en sí y de su diagonal, no tienen en el pensamiento el que dibujan y otras cosas por el estilo. Las mismas cosas que modelan y dibujan, cuyas imágenes nos las ofrecen las sombras y los reflejos del agua son empleadas por ellos con ese carácter de imágenes, pues bien saben que la realidad de esas cosas no podrá ser percibida sino con el pensamiento.»

Por ello, para Platón, la Matemática debe ser independiente de todo pragmatismo, de toda empiria y de la utilidad inmediata, y debe estar liberada intelectualmente de todo instrumento material –que son elementos corruptores y degradantes–, como señala Plutarco en sus Vidas Paralelas (Vida de Marcelo), cuando nos habla de la indignación de Platón ante el uso de artificios mecánicos en la Geometría:
«Platón se indispuso e indignó con ellos [contra Arquitas de Tarento y Eudoxo de Cnido], porque degradaban y echaban a perder lo más excelente de la Geometría con trasladarla de lo incorpóreo e intelectual a lo sensible y emplearla en los cuerpos que son objeto de oficios toscos y manuales.»

El mismo Platón señala una y otra vez en la República que la Geometría no debe tener otra finalidad que el conocimiento en sí mismo. Así lo proclama en 526e–527b:

«[...] La parte más elevada de esta ciencia nos conduce a una contemplación más factible de la idea del Bien. [...] La Geometría nos obliga a contemplar la esencia. [...] Es una ciencia del conocimiento del ser, no de lo que está sujeto al cambio o desaparición. [...] Conducirá al alma hacia la verdad y dispondrá la mente del filósofo para que eleve su mirada hacia arriba».

Platón describe también, con su inveterado idealismo, la misión de la Aritmética como ciencia para escapar del ámbito sensible y elevar el alma hacia lo abstracto (525d–526c):

«[...] Es lo cierto que esa ciencia [la Aritmética] conduce el alma hacia lo alto y la obliga a razonar sobre los números, sin permitir de ningún modo que nadie presente un ejemplo de números corpóreos y tangibles. [...] Esa ciencia se nos presenta con visos de necesaria, puesto que parece forzar al alma a servirse de la inteligencia pura para alcanzar la verdad en sí.»

Tan importante considera Platón el adiestramiento en estas ciencias en la formación del filósofo que prescribe se deben imponer en la instrucción por imperativo legal (525b–525d):

«... Convendrá imponer esta enseñanza por medio de una ley y convencer a los que deban ocupar los puestos de gobierno de la ciudad para que desarrollen su gusto por estas artes [las ciencias matemáticas].

De esta visión platónica idealista podría derivar la distinción entre Aritmética y Geometría como factores espirituales de elevación hacia la Filosofía y Logística y Geodesia como instrumentos materiales y utilitarios de los artesanos y técnicos. Como consecuencia de ello, pudo haber sido Platón el responsable de la restricción en las construcciones geométricas griegas a aquellas que pueden realizarse sólo con regla y compás.

La Matemática como propedéutica de la Filosofía.

Para Platón la Matemática tienen como misión elevar el alma de las cosas sensibles a la verdad ideal inteligible, cognoscible por vía exclusivamente racional. Pero es en el acto del filósofo de trascender el mundo físico donde las ciencias matemáticas juegan un papel esencial, ya que permiten realizar una intermediación en el tránsito de lo sensible a lo racional. Esta visión platónica de las Matemáticas campea a lo largo de los Diálogos, sobre todo en la República, un texto fundamental para comprender la Filosofía de la Matemática de Platón que tanta trascendencia ha tenido en la evolución ulterior de esta ciencia. En esta obra, Platón expone una grandiosa concepción ontológica de la Matemática que ha tenido un singular atractivo sobre los matemáticos de todas las épocas. A través del bellísimo lenguaje metafórico de la Alegoría de la Línea (509d–511e) y de la Alegoría de la Caverna (514a–519d), Platón reflexiona, una y otra vez, acerca de la naturaleza de las entidades matemáticas, del lugar que ocupan en los diversos dominios de la realidad y de las relaciones que establecen con los diversos ámbitos del conocimiento.

El pensamiento discursivo de la Matemática (diánoia) es el conocimiento que se obtiene cuando se razona y se va de las hipótesis a las conclusiones que de ellas se deducen. En este mundo se encuentran las formas de los números y las formas geométricas. Corresponde, en la alegoría de la caverna, al conocimiento que los liberados de la cueva tienen de los objetos mismos. Pero la Matemática no es la ciencia más perfecta, porque necesita utilizar ejemplos o imágenes sensibles para sus demostraciones, en las que el geómetra se tiene que conformar con una representación material y, por tanto, inexacta de las distintas figuras geométricas. Sabe que el cuadrado o el círculo no son más que copias o imágenes del Cuadrado en sí, del Círculo en sí. Además, las demostraciones de las Matemáticas se realizan a partir de hipótesis, de supuestos, pero no se pregunta por su validez, sino que se presupone. El pensamiento intelectivo que por ser conocimiento intuitivo de las ideas, es superior a la Matemática no es otro que la Dialéctica. Gracias a ella nuestra razón es capaz de utilizar las hipótesis de las otras ciencias inferiores –las Matemáticas– como trampolines hasta alcanzar el principio de todo, la verdad suprema. Es la Idea de Bien. Así pues, ya que la Matemática para estudiar sus objetos geométricos y aritméticos –figuras y números–, necesita servirse de objetos sensibles utilizándolos como imágenes para referirse a sus objetos ideales, es decir, recurre a lo sensible para elevarse a lo inteligible, resulta ser como ciencia, el más conveniente puente para transitar del mundo sensible de la opinión, creencia, imaginación, conjetura, figuración, etc., de la Física, al mundo inteligible de las Ideas de la verdadera Filosofía, la ciencia perfecta de la inteligencia pura, que es la Dialéctica. El estudio de las ciencias matemáticas es la necesaria preparación introductoria para la Dialéctica. En palabras de Platón:

«La Aritmética y la Geometría son una propedéutica para la Dialéctica» (536d).
«Todas estas ciencias [matemáticas] no son más que el preludio de la melodía que se debe aprender, [...] que no es otra que la melodía que ejecuta la Dialéctica» (531d).
«El poder dialéctico sólo se revelará a quien sea experto en estas ciencias» (533a).
En resumen, las ciencias matemáticas son el instrumento que permite al verdadero filósofo empezar a romper las cadenas que le tienen aprisionado en la oscuridad del mundo sensible de la caverna e ir alcanzando progresivamente la contemplación de la realidad del mundo inteligible –las ideas y las formas eternas inmateriales y universales o nóesis– (la Dialéctica, la Filosofía), cuyo ascenso se inicia comenzando por las formas geométricas, verdadera matriz de las ideas y formas abstractas: la Belleza, la Justicia, el Bien, etc. Por eso la Matemática tiene una importancia tan relevante en el pensamiento de Platón, quien ejerció una influencia decisiva en la Matemática de su tiempo, asignándole una jerarquía excepcional entre todos los estudios de la Academia.