|
El
Liber quadratorum
Esta obra, que hasta 1862 se creyó perdida,
fue escrita en 1225. Los problemas planteados
en este libro están en la línea
de Diofanto, pero en la manera de resolverlos
está el sello personal de Leonardo. Si
el matemático de Alejandría se
contenta con soluciones racionales, el de Pisa
quiere conseguirlas enteras. Uno de estos problemas
consiste en encontrar un número cuyo
cuadrado, al sumarle y restarle un mismo número,
vuelva a dar cuadrados. En términos modernos,
se trata de resolver las ecuaciones diofánticas
y  .
Ahora bien, estas ecuaciones, combinadas entre
sí, llevan a esta otra,
, a la vista de la cual es evidente que los
dos factores del segundo miembro (por ser ambos
de la misma paridad y su producto múltiplo
de dos) han de ser pares. En consecuencia  ,
La primera y la tercera ecuación permiten
calcular z e y:
 Si
ambas expresiones son sustituidas en las ecuaciones
originales, dan lugar a 
y 
, las cuales a su vez, sumadas miembro a miembro,
proporcionan esta otra  .
Esto significa que x  y
h forman lo que se conoce como
una terna pitagórica. Si son números
enteros, han de existir (se sabe desde muy antiguo)
dos enteros m y n,
primos entre sí y de distinta paridad,
tales que  ,
, y  .
Eliminando
la h se tiene que  y
. Dando valores a m y
n, se encuentran todas las soluciones
que se quieran
A
los posibles de valores de t
los llama Leonardo, con una terminología
ya en desuso, congruentes. El número
congruente más pequeño es veinticuatro,
lo cual explica por qué el primer problema
planteado en el torneo carece de soluciones
enteras. Es cosa sencilla demostrar algo que
la tabla anterior hace evidente: todos los números
congruentes son múltiplos del más
pequeño de ellos.
El
Liber abaci
El Liber abaci, publicado en 1202,
es sin duda la obra más conocida de Leonardo.
Su título es equívoco, pues precisamente
frente a los abacistas (que empleaban el ábaco
y la vieja notación romana) demuestra
las ventajas de las cifras hindúes. En
el Liber abaci se habla del uso de las cifras
y del cálculo con los números
enteros, se enseña la descomposición
de un número en factores primos, se demuestran
los criterios de divisibilidad y se proporcionan
las pruebas del 9, del 11 y del 7.
 |
Página
del Liber abaci de Fibonacci |
También
trata sobre la contabilidad mercantil, la
regla de compañía y al cambio
de monedas. Aparecen en él además
problemas de álgebra de primer grado,
que Leonardo resuelve por medio de la regla
de los dos errores que había aprendido
de los árabes. Pero de todos los problemas
propuestos en el Liber abaci hay
uno que sobresale por su enorme longevidad.
Son muchos los matemáticos que han
trabajado sobre él y que siguen trabajando,
y es rara la revista matemática que
no le haya dedicado alguna vez un artículo.
El problema es el siguiente: ¿Cuántas
parejas de conejos tendremos a fin de año
si comenzamos con una pareja que produce cada
mes otra pareja que procrea a su vez a los
dos meses de vida? Como se ve en la tabla
siguiente, el número de parejas que
hay al terminar cada mes es una sucesión
en la que cada término es la suma de
sus dos precedentes.
Leonardo
no llegó a sospechar las curiosas propiedades
de esta sucesión, ni que habría
de ser objeto de estudio por parte de muchos
matemáticos posteriores. Girard, Simpson
y Lagrange son algunos de ellos. 
|
