Un torneo matemático y una colección de problemas

Pasaba por la ciudad de Pisa el emperador Federico II, allá por el año 1225, y quiso conocer al célebre sabio que en ella vivía. Dos filósofos de su séquito, Juan de Palermo y Teodoro, concertaron un encuentro. Además, organizaron un torneo matemático para que Federico comprobara que la fama de Leonardo no carecía de fundamento. Le plantearon tres problemas y el pisano los resolvió. Los tres problemas fueron los siguientes.

El primero, encontrar un número cuyo cuadrado, al sumarle o restarle cinco, dé otros cuadrados. Leonardo parte de la siguiente identidad (a veces conocida como de Fibonacci):

Si pudiéramos dar con dos números enteros m y n tales que el problema tendría solución entera. Pero se puede demostrar (es cosa inmediata) que no existen tales números, de modo que habremos de conformarnos con soluciones racionales. Dividimos ambos miembros de la igualdad por y resulta:

Si , necesariamente es múltiplo de cuatro y . La última identidad se transforma en . Uno de los factores del primer miembro ha de ser múltiplo de cinco. Pongamos m=5, y entonces . El primer valor de que hace de un cuadrado es . En consecuencia, , y el número buscado es el siguiente (y es fácil comprobar que, efectivamente, cumple las dos condiciones):

En el segundo problema se trata de hallar un número x para el cual , utilizando para ello el libro X de los Elementos de Euclides. En él se da una clasificación de los segmentos de la forma , , , (con m y p racionales). Leonardo demostró que la solución no puede ser racional, ni tampoco ninguno de los irracionales antes señalados. Después encontró una solución aproximada, que en notación actual es , y que fue la mejor aproximación de una raíz irracional de una ecuación algebraica conseguida hasta el momento.

El tercer problema es la historia de tres hombres se reparten al azar un capital. A continuación, el primero aporta a un fondo común la mitad de su porción, el segundo un tercio y el tercero un sexto. Después hacen con el fondo tres partes iguales, y cada cual toma una para sí. ¿Cuánto tuvo cada uno en el primer reparto, si la cantidad final fue, para el primero, la mitad del capital inicial, para el segundo la tercera parte y para el tercero la sexta parte?

Leonardo toma como incógnita auxiliar u una de las tres partes en que se ha dividido el fondo formado por las fracciones de las partes tomadas al azar. Si éstas son x, y y z, y el capital total es c, tenemos las ecuaciones:

La solución entera más pequeña es

Los tres problemas entraron a formar parte de una colección de quince que Leonardo publicó, en el mismo año en que tuvo lugar la justa, bajo el título Flor de soluciones de ciertas cuestiones relativas a los números y a la geometría. Dos problemas de este opúsculo, además de los tres del torneo, merecen ser destacados. Uno, porque tiene soluciones de distinto signo, que Leonardo interpreta como dinero poseído o debido, y es la primera vez que en el Occidente latino aparecen los números negativos entendidos como deudas. El otro, porque plantea una cuestión geométrica que se transforma en una ecuación algebraica. .