Andrei Nikoláyevich era hijo de Nikolai Matveievich Katáev, técnico agrónomo, quien murió en el año 18 durante la guerra civil luchando en las filas del ejercito rojo. Andrei Nikoláyevich no llevó su apellido porque Katáev nunca se casó con su madre, Mariya Yakovlievna, quien murió en el parto. El pequeño Andrei creció en una de las propiedades de su abuelo materno, el boyardo Yákovliev Kolmogórov. Cuidaron de él sus tías maternas, Vera, quién hasta su muerte en 1950 se mantuvo junto a Kolmogórov y Nadieshda que gustaba de la medicina, y más tarde estableció residencia en Voronesh. Sus tías se preocuparon en desarrollar su curiosidad por la naturaleza y su interés en los libros.

Realizó sus estudios elementales en una escuela que seguía métodos no tradicionales, donde los profesores se preocupaban por desarrollar las capacidades creativas y el talento de sus alumnos. En esta escuela Andrei Nikoláyevich se destacó particularmente en Historia y Matemática y en ella conoció a Anna Dmitrievna Egorova (1910-1988), con quien se casaría mucho después, en 1942.

En los difíciles días de 1919, las carencias materiales lo obligaron a buscar medios de subsistencia. Trabajó primero como obrero ferroviario y después como conductor de trenes y bibliotecario en el vagón acondicionado para ello. En el verano de 1920, regresó a Moscú y tuvo que decidir dónde continuaría los estudios superiores. (más detalles sobre su infancia y adolecencia en [2], [5] y [6]).

Sus estudios universitarios los inicia en la época del apogeo de la guerra civil, no obstante las condiciones para la formación académica se habían favorecido notablemente. El estudio a todos los niveles era totalmente gratuito y los estudiantes con dificultades económicas recibían un módico estipendio o una cuota mayor de alimentos.

Kolmogórov matriculó a la vez, matemáticas, en la facultad de física y matemática de la Universidad Estatal de Moscú (UEM) Lomonosov e ingeniería metalúrgica en el Instituto químico tecnológico Mendeleiev. Pasó varios meses entre Lomonosov y Mendeleiev, hasta que comprendió que sus aptitudes eran para la matemática. A partir de entonces toda su vida estuvo ligado a las matemáticas y a la UEM.

El matemático ruso más inspirador de los años 20 era sin dudas Nikolai Luzin (1883-1950). Desde la década anterior alrededor de Luzin se habían ido agrupando jóvenes matemáticos y alumnos talentosos e interesados en la investigación. Este grupo constituyó la Luzitania. En una ocasión, Luzin usó una proposición geométrica, de apariencia elemental, que dejó a los alumnos de ejercicio, para que la probaran. Kolmogórov, que era su alumno, dudó de la veracidad de la proposición y después de unas dos semanas de batallar, construyó un contraejemplo (ver [1, Vol.III]). De esta forma surgió su primer trabajo matemático.

Por esa misma época, Andrei Nikoláyevich comenzó a asistir al curso de topología que conjuntamente brindaban Pável Úryson (1898-1924) y Pável Aleksandrov (1896-1982) (miembros de la Luzitania). De esta manera se interesó en la forma que, partiendo de una familia de conjuntos dada, se generaban las topologías, por intersecciones y uniones, e ideó una teoría general de operaciones con conjuntos. Más tarde, Aleksandrov se convirtió en su amigo más íntimo. En particular, su primer viaje al extranjero en 1930, a Francia y Alemania, fue junto a Aleksandrov.

También comenzó a asistir al seminario sobre series trigonométricas que dirigía el profesor Viacheslav Stepánov (1889-1950). Relacionado con este tema encontró el resultado que le dió a los 19 años fama internacional: un ejemplo de una función integrable cuya serie de Fourier-Lebesgue era divergente casi dondequiera, todo lo contrario de lo que pensaban la mayoría de los matemáticos de entonces. Tres años más tarde Kolmogórov volvió a asombrar a la comunidad científica internacional construyendo una función integrable (según Lebesgue) cuya representación en serie trigonométrica divergía en todo punto.

Une série de Fourier-Lebesgue divergente presque partout (1923)

Otros dos miembros de la Luzitania también influyeron significativamente en la formación de Kolmogórov. Sobre series trigonométricas, Dmitri Menshov (1892-1988) y sobre teoría de probabilidades, Aleksandr Khinchin (1894-1959). Ambos, con una fructífera experiencia de trabajo investigativo en la Luzitania, se convirtieron en una suerte de guías científicos, sobre todo en los períodos que Luzin viajaba al extranjero
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Kolmogórov terminó la carrera en 1925 y realizó estudios postgraduados durante el tiempo estipulado de 4 años, inmediatamente entró a formar parte del Instituto de Investigaciones en Mecánica y Matemática de la UEM. En esa época en la URSS estaban abolidos los grados científicos, cuando se instauran nuevamente, en 1935, le otorgaron a Andrei Nikoláyevich Kolmogórov, el grado de Doctor en Ciencias Fisicas y Matemáticas sin presentar ninguna tesis especial. Entonces ya tenía 59 publicaciones, más del 50% en revistas de prestigio internacional (ver [2], [3], [6]).

Al cumplir los 30 años, le nombraron Director del Instituto de Investigaciones en Mecánica y Matemática de la UEM y en el año 39 Secretario científico de la sección de Física y Matemática de la Academia. En esencia, este último cargo representaba dirigir la política científica de toda la Unión Soviética en estas disciplinas.

Un hecho trascendental en la vida científica de Kolmogórov ocurrió cuando en 1935, conjuntamente con su gran amigo Pável Aleksandrov, adquirió, la mitad de un palacete en Komarovka, a unos 40 kilómetros de Moscú. Ambos amigos organizaron su vida para poder pasar una buena parte del tiempo en esta casa, cuya mayor habitación la convirtieron en biblioteca. Muchos de sus alumnos pasaban el fin de semana con ellos, con un programa intenso que incluía tanto la investigación matemática como los paseos y las actividades de cultura general. Lo más apreciado por todos eran los paseos en los que hablaban tanto de problemas concretos matemáticos, como de problemas generales de la ciencia. Uno de los primeros y más entrañables alumnos de Andrei Nikoláyevich, Boris Gnedenko expresó [3]:

Estas excursiones [...] estaban repletas de discusiones sobre los problemas actuales de la matemática (y sus aplicaciones), así como alrededor de cuestiones del progreso de la cultura, especialmente pintura, arquitectura y literatura. [...] Muchos de nosotros en la época de estos paseos adquirimos la seguridad en las fuerzas propias, conocimos sobre problemas, que ocuparon nuestra conciencia durante un largo tiempo, reconocimos la matemática no como a un conjunto de disciplinas diferentes sino como a un todo único.[...] Me parece que precisamente durante estos paseos se revelaba plenamente el peculiar talento pedagógico de A. N. Kolmogórov...