La
rama de la derecha de la hipérbola
puede no cortar a la parábola, tocarla
en un punto o cortarla en dos, con lo cual
la ecuación carecería de soluciones,
tendría una o tendría dos (a
ojos de Omar Jayyam: para él no existen
soluciones negativas ni complejas). Suponemos
que se encuentran por lo menos en un punto
P. Por ser un punto de la hipérbola
(y la proposición 21 del libro I de
las Cónicas de Apolonio):
y en consecuencia 
y por serlo de la parábola: 
Entonces
sucede lo que viene a continuación:
, de donde se deduce:
y ya tenemos la solución:
Ecuación 
.
Dibujamos la arista OH de un cubo
de volumen c (ecuación
),
un segmento prolongación del anterior,
una recta perpendicular en O a AH,
y un punto C que
con O y H
determine un cuadrado (figura 4). Después,
la parábola de vértice A,
eje AH y lado recto OH,
y la hipérbola que pasa por C
y de asíntotas las dos rectas perpendiculares
(proposición 4 del libro II de las
Cónicas). Ambas curvas se cortan P.
Los rectángulos rojo y negro tienen
idéntica superficie:
Y por estar P en la parábola 
Entonces
tenemos lo siguiente: 
de donde se deduce: 
Como
siempre, la solución es 
Ecuación
. Sean los segmentos 
,
, y BC, cuya longitud
es la altura de un prisma de volumen c y base
cuadrada de lado OB (lema
II). BC prolonga
a AB, y OB
es perpendicular a AC
(figura 5). Dibujamos el círculo de
diámetro AB,
y la hipérbola que pasa por C
y tiene como asíntotas a la recta que
contiene al segmento OB
y a su perpendicular que pasa por O.
Ambas curvas se encuentran en P.
A los rectángulos rojo y negro, que
tienen la misma superficie, les quitamos su
parte común y tenemos otros dos rectángulos,
también de la misma superficie:
El triángulo negro es rectángulo,
por la proposición 32 del libro III
de los Elementos, y por el corolario de la
proposición 8 del libro VI:
Entonces tenemos que 
de donde se deduce: 
y
en consecuencia:
Sobre la división de un cuarto
de círculo
Otra obra de Omar Jayyam se titula
Sobre la división de un cuarto
de círculo, un opúsculo
en el cual propone una cuestión geométrica
que lleva a una ecuación cúbica.
El problema es el siguiente: si para cada
punto P de un círculo
consideramos las proyecciones CA
y CB
sobre dos diámetros perpendiculares
(ver figura 6), se trata de encontrar el punto
para el cual sucede lo que viene a continuación:
(lo cual equivale a resolver la ecuación
trigonométrica 
El
problema, traducido algebraicamente, lleva
a la ecuación 
,
que es una ecuación del tipo cubo
de la cosa más cosa igual a cuadrado
de la cosa más número,
que está entre las inventariadas más
arriba.
Comentarios sobre aspectos dudosos en los
postulados del libro de Euclides
La otra obra
que vamos a comentar de nuestro matemático
tiene un título muy explícito:
Comentarios sobre aspectos dudosos en los
postulados del libro de Euclides.
En ella reflexiona sobre dos puntos que, a
su juicio, Euclides los había tratado
de un modo incompleto. Uno de ellos es el
del V postulado, que para él, como
para tantos otros matemáticos, no era
tal postulado y requería una demostración.
De esta manera entra en una polémica
que ya era antigua en su época y que
todavía duraría mucho más,
hasta dar lugar a las geometrías no
euclidianas. El otro punto es la teoría
de las proporciones irracionales. Jayyam lo
aborda mediante un algoritmo que es el antepasado,
no demasiado remoto, del de las fracciones
continuas. 
