Cubo
de la cosa igual a número |
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Cubo
de la cosa más cosa igual a número |
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Cubo
de la cosa más número igual
a cosa |
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Cubo
de la cosa igual a cosa más número |
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Cubo
de la cosa más cuadrado de la cosa
igual a número |
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Cubo
de la cosa más número igual
a cuadrado de la cosa |
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Cubo
de la cosa igual a cuadrado de la cosa
más número |
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Cubo
de la cosa más cuadrado de la cosa
más cosa igual a número |
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Cubo
de la cosa más cuadrado de la cosa
más número igual a cosa |
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Cubo
de la cosa más cosa más
número igual a cuadrado de la cosa
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Cubo
de la cosa igual a cuadrado de la cosa
más cosa más número |
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Cubo
de la cosa más cuadrado de la cosa
igual a cosa más número |
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Cubo
de la cosa más cosa igual a cuadrado
de la cosa más número |
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Cubo
de la cosa más número igual
a cuadrado de la cosa más cosa |
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Después
de demostrar unos lemas muy sencillos, veremos
como Jayyam resolvió algunas de ellas.
Las palabras “número” y
“segmento” serán utilizadas
indistintamente.
LEMA 1: Dados dos segmentos a y b, encontrar
otros dos x e y tales que:
Jayyam
resuelve este problema igual que Menecmo,
cortando dos parábolas.
LEMA 2: Sean dos paralelepípedos de
bases cuadradas de lados a y b. La altura
del primero es h. Queremos calcular la altura
del segundo (lo cual significa fabricar un
segmento igual a dicha altura) para que ambos
tengan idéntico volumen (figura 1).
La
proposición 11 del libro VI de los
Elementos de Euclides
permite dibujar un segmento de longitud m
tal que 
.
Con la proposición 12 del mismo libro
construimos un segmento k cuarto proporcional
de m, a
y h, esto es, tal
que
. Este segmento es la altura buscada. En efecto,
por la proposición 34 del libro XI:
LEMA
3: Conocemos ahora la altura del segundo paralelepípedo
y queremos saber el lado de su base. Buscamos
un segmento m cuarta
proporcional de las tres longitudes conocidas
:
Mediante la proposición 13 del libro
VI fabricamos otro segmento b
media proporcional entre a
y m:
. La misma cadena de igualdades utilizada
más arriba demuestra que este segmento
es el lado buscado.
1. Ecuación .
Según el lema 1 podemos encontrar dos
segmentos x e y
tales que 
.
Ahora bien, según la primera igualdad.
Entonces:
De
aquí se deduce que .
El segmento x es solución de la ecuación.
Ecuación 
.
Dibujamos un cuadrado de lado 
(proposición
13 del libro VI de los Elementos) y sobre
él, por el lema 2, un paralelepípedo
de altura h y volumen
c. Construimos
ahora una parábola de vértice
O y lado recto
,
y un círculo de diámetro 
y
tangente al eje de la parábola en su
vértice (ver figura 2).
Ambas curvas
se cortan en O y
en otro punto P.
En adelante nos fijaremos en los segmentos
y
que
el punto de encuentro de las cónicas
proyecta sobre rectas relacionadas con ellas
(en este caso, el eje de la parábola
y el diámetro de la circunferencia
perpendicular a él).
Por la proposición 33 del libro III
y el corolario de la proposición 8
del libro VI de los Elementos, los triángulos
rojo y verde son semejantes:
Y
por ser P un punto de la parábola:
Combinamos las
do proporciones y tenemos lo siguiente
de donde se deduce
que 
.
El segmento 
es
la solución
Ecuación
.
Los segmentos OA
y OH y la parábola
son los de antes. Tangente en O al
su eje, dibujamos una hipérbola de
lado recto OH (figura
3).
