El primer trabajo relacionado con el análisis de los infinitesimales publicado por Jacob fue en 1690 en el Acta Eruditorum. En él resolvió un problema que había sido propuesto por Leibniz tres años antes y que Jacob Bernoulli redujo a la resolución de una ecuación diferencial. Este trabajo es particularmente importante para la historia del cálculo, ya que la denominación integral aparece por vez primera con su significado actual de proceso inverso al de la diferenciación.

Al final de este trabajo Jacob propuso como un reto el conocido como problema de la catenaria:

Encontrar la forma que toma una cuerda (o cadena), perfectamente flexible y homogénea, por la acción sólo de su peso, si sus extremos son fijos.

Este era un viejo problema que los geómetras más eminentes de épocas anteriores no habían sido capaces de resolver satisfactoriamente. La forma que toma la cuerda tiene un gran parecido con una parábola y precisamente ésta fue la primera conjetura formulada por varios matemáticos, Galileo entre ellos. Con solo 17 años Huygens había demostrado que la curva no era una parábola, aunque no pudo precisar cuál era la curva buscada.

Después de lanzado el reto por Jacob, el problema fue resuelto geométricamente por Huygens y, mediante el uso de los medios del cálculo infinitesimal, por Johann Bernoulli y Leibniz. Y todos obtuvieron constructivamente la misma curva a la que Huygens denominó catenaria, del vocablo latino catena que significa cadena. Actualmente esta curva se describe a través de la función exponencial, mediante la función conocida como coseno hiperbólico:
, pero en la época que nos ocupa la función exponencial aún no se había introducido.

Uno de los tipos de curvas que más agradaban a Jacob eran las espirales. La primera espiral conocida en la historia de la matemática es la de Arquímedes. Primeramente Jacob introdujo e investigó la llamada espiral parabólica , a, p constantes). Para ello, Jacob presenta, aunque en forma embrionaria, una idea de lo que hoy conocemos como coordenadas polares. El problema de hallar la longitud de un arco de esta espiral condujo a Jacob a considerar la primera integral elíptica en la historia de la matemática, teoría esta que ha sido el motor impulsor de innumerables investigaciones posteriores que llegan hasta nuestros días.

Pero la espiral que recabó la mayor atención de Jacob fue la que actualmente se conoce como espiral logarítmica : . Esta curva apareció por primera vez en el siglo XVI, relacionada fundamentalmente con los problemas de la navegación interoceánica.

Jacob analizó una serie de curvas relacionadas con la espiral logarítmica (evoluta, involuta, cáustica...) y el resultado era frecuentemente otra espiral logarítmica. Esta propiedad extraordinaria de reproducirse bajo diversas transformaciones fue lo que motivó que Jacob denominara a esta espiral spira mirabilis (espiral milagrosa) y que ordenase que fuera colocada en la lápida de su tumba junto a la inscripción latina Eadem mutata resurgo, lo que puede traducirse como: Aún siendo modificada, resurjo. Sin embargo, por ironías del destino, la espiral que aparece grabada en su tumba es la de Arquímedes y no la logarítmica, como él había dispuesto.

En los últimos años del siglo XVII, estalló una amarga contr oversia de Jacob con su hermano Johann. Esta situación se debió sin duda a las difíciles características de la personalidad, tanto de uno como de otro hermano. Jacob poseía una naturaleza sensible e irritable y, probablemente, se molestó porque Johann alardeaba y nunca agradeció la formación recibida de él. Por otra parte, la cátedra de matemática de la Universidad de Basilea la ocupaba Jacob, por lo que Johann tuvo que buscar una cátedra disponible fuera de su ciudad natal. Gracias a sus relaciones con Huygens la halló en Groninga.

En junio de 1696, mientras Johann estaba en Groninga, propuso el problema de la braquistócrona y retó a la comunidad matemática a resolverlo antes del fin del año, añadiendo con sarcasmo que la curva es una bien conocida de los matemáticos.
El problema se expresa como sigue: Dados dos puntos A y B en un plano vertical, hallar el camino AMB por el que una partícula móvil M, descendiendo por su propio peso, iría de A a B en el menor tiempo posible.
En la Pascua del año siguiente aparecieron en total 5 soluciones: además de Johann y Leibniz resolvieron el problema Jacob Bernoulli, L'Hôpital y Newton. La curva solución de este problema resultó ser efectivamente, una curva bien conocida y estudiada por la comunidad científica, era nada más y nada menos que la cicloide.

El método de solución de Jacob resultó muy general, penetrando profundamente en la esencia de la cuestión y ejerció gran influencia en Euler cuando dio los primeros pasos en lo que más tarde sería el Cálculo de Variaciones. El trabajo en que Jacob presenta su método lleva el original título Resolución del problema de mi hermano, a quien yo a mi vez planteo otro, y efectivamente propone no uno, sino dos nuevos problemas.

La segunda cuestión propuesta por Jacob en su trabajo es notable, entre otras cosas, por revivir el antiguo problema isoperimétrico. Jacob propone un problema realmente difícil y con ello mostró la confianza que tenía en la potencia del método por él desarrollado.

No es de extrañar que Jacob ofreciera una recompensa a su hermano si aceptaba el reto en un plazo de 3 meses y daba la solución antes de un año. Johann, con su fanfarronería habitual respondió que en lugar de 3 meses el no necesitaba más de 3 minutos para alcanzar la solución, e incluso para ir más allá y resolver un problema aún más general. Pero en realidad Johann solo resuelve una parte del problema y no precisamente la más importante. Precisamente esta idea incorrecta de Johann es lo que provoca un hiriente intercambio entre los hermanos, que Jacob da por terminado en 1701 con un trabajo largo y difícil, donde realiza un profundo y correcto análisis del problema.

Entre los años 1689-1704 Jacob publicó cinco memorias con el título general de Proposiciones aritméticas acerca de las series infinitas que fueron la primera guía que existió para el estudio de la teoría de series, a pesar de usar métodos poco ortodoxos y obtener algunos resultados de dudosa validez.

En particular se interesó junto a su hermano J ohann por la serie de los inversos de todos los números naturales, desconociendo los resultados que sobre este asunto se habían hallado anteriormente. Cuando demostró la divergencia de esta serie, Jacob asombrado exclamó: ¡Entonces una suma donde el último término desaparece puede ser infinitamente grande!

También Jacob analizó el comportamiento de la serie , demostrando que tenía una suma menor o igual que 2. Sin embargo, no fue capaz de encontrar exactamente el valor de su suma. Este desafío lanzado por Jacob pronto se conoció como el problema de Basilea y solo fue resuelto por la perspicacia de Euler 30 años después.

Euler fue mucho mas allá. Después de lograr sumar los inversos de las potencias de orden 4, 6, 8, hasta la exagerada potencia 26, observó una relación extraordinaria entre las sumas infinitas de los inversos de potencias de orden par y los llamados números de Bernoulli.

Los números de Bernoulli fueron introducidos por Jacob con el fin de sumar las potencias de los primeros números naturales. Sin embargo, su fama se debió a las variadas relaciones, bastante misteriosas, de estos números con otras constantes que aparecen en el Análisis, la Teoría de números, la Topología Diferencial y con otros problemas de índole diversa. Quizás, la más asombrosa de estas relaciones fue la hallada por Ernst Kummer, a mediados del siglo XIX, con el famoso teorema de Fermat.

Primera página del Ars conjectandi (1713)

Pero los importantes números de Bernoulli no aparecieron en una obra de análisis infinitesimal, sino en la que se considera la producción de Jacob que ha tenido mayor trascendencia: Ars conjectandi (Arte de las conjeturas), publicada en Basilea en 1713 por su sobrino Nicolaus I, ocho años después de la muerte de su autor. Cuando muere Jacob, el trabajo estaba aún incompleto; no obstante, constituía una obra de gran significación para una nueva rama de las matemáticas que se estaba gestando en esa época: la teoría de las probabilidades.

Bernoulli divide su libro en cuatro partes, pero, desde un punto de vista actual, podemos distinguir dos secciones muy bien diferenciadas. En la primera sección Jacob se apoya en un trabajo anterior de Huygens, realizando una serie de comentarios y adiciones importantes. En particular, aquí es donde introduce los números de Bernoulli, antes mencionados. También resuelve una serie de problemas relacionados con los juegos de azar para lo que introduce varias nuevas herramientas de cálculo, entre ellas la denominada distribución de Bernoulli o distribución binomial.

Lo que distinguimos como segunda sección es la cuarta parte de la obra. Aquí Jacob rompe radicalmente con la temática tradicional y realiza consideraciones infinitesimales en el cálculo de probabilidades al enunciar y demostrar el teorema límite. Este teorema, que más tarde Poisson denominará ley de los grandes números, ha sido objeto de numerosas generalizaciones y aplicaciones. En especial, en él se basa la definición estadística de probabilidad.

La demostración dada por Jacob a su teorema es totalmente rigurosa, la insuficiencia del resultado y las críticas que ha recibido son de índole práctica y radican en el hecho de que la estimación realizada del número de ensayos necesarios es demasiado grande. Su sobrino Nicolaus I y especialmente Abraham de Moivre mejoraron el estimado.

La excelencia de su obra fue reconocida por la comunidad científica de la época. Dos ejemplos de ello lo constituyen el que en 1699 la Academia de París, por vez primera, eligió ocho miembros extranjeros y entre ellos estaban, además de Newton y Leibniz, los hermanos Jacob y Johann Bernoulli. Por su parte, en 1701 la Academia de Berlín también eligió a ambos hermanos Bernoulli como miembros extranjeros.

A fines del siglo XVII, Jacob enferma seriamente, al parecer de tuberculosis. La enfermedad y las tensiones generadas por las enconadas e insensatas controversias con su hermano provocaron que falleciera, en plenas facultades mentales, el 16 de agosto de 1705. .