La obra de Hilbert sobre geometría se convirtió en un modelo para el trabajo con sistemas axiomáticos informales que iba a ser característico de la matemática del siglo XX. Tampoco en este caso se trataba de una novedad absoluta: Hilbert construía sobre las aportaciones previas acerca de geometría proyectiva (von Staudt, Reye, Pasch, H. Wiener, Schur), existían los trabajos de la escuela italiana (Pieri, Veronese) que sin embargo no influyeron en él demasiado, y además es importante tener en cuenta los modelos propiamente aritméticos (especialmente Dedekind) que influyen en su obra. Hilbert presentó un sistema de axiomas que inmediatamente dejaba obsoleto a Euclides, y aritmetizó la geometría por medio de los “cálculos de segmentos” basados en los teoremas fundamentales de Pascal y Desargues. Esto le abría el camino a toda una panoplia de geometrías, incluyendo también geometrías no arquimedianas.

Hilbert no sólo propuso la idea de que los axiomas admitían interpretaciones múltiples, sino que desplegó su habilidad matemática manejando un gran número de modelos (muchos puramente aritméticos) que servían para investigar propiedades del sistema de axiomas. En esta época, le interesaban especialmente cuestiones acerca de la independencia entre los axiomas, y los cuerpos teóricos que es posible erigir sobre ciertos grupos de axiomas. Por estas razones su obra serviría como un modelo esencial para la investigación de fundamentos y la práctica axiomática en las décadas siguientes.

Página de los Proceedings del ICM de Paris (1900) con la conferencia de Hilbert sobre Problemas Matemáticos

Otro hito fundamental, y una de las razones del aura legendaria que ha tenido Hilbert, fue su conferencia sobre “Problemas matemáticos” en el Congreso Internacional de París, en 1900. Por cierto, no era una conferencia plenaria, aunque con posterioridad haya aparecido como el discurso más influyente de aquel congreso; tampoco parece haber despertado entusiasmo de un modo inmediato. Pero sin duda Hilbert fue muy ambicioso al afrontar el reto de “levantar el velo tras el que se oculta el futuro” de las matemáticas, y estuvo a la altura de la ocasión, con lo que de paso logró influir en ese futuro. En París sólo hubo tiempo para discutir 10 de sus veintitrés problemas: la hipótesis del continuo de Cantor; la cuestión de la consistencia para la aritmética de los reales; la axiomatización de teorías físicas; varios problemas de teoría de números, incluyendo la conjetura de Riemann; una cuestión sobre curvas y superficies definidas por ecuaciones polinómicas; las soluciones analíticas de los problemas regulares en cálculo de variaciones; la existencia de ecuaciones diferenciales ordinarias que correspondan a grupos monodrómicos dados; y una cuestión de Poincaré sobre la parametrización de curvas algebraicas por medio de funciones automorfas.

Ahora bien, ya que hemos mencionado el mito Hilbert, conviene analizarlo un poco, y nada mejor que citar a uno de sus discípulos más aventajados, Hermann Weyl:

Hilbert imprimió el sello de su espíritu sobre toda una era de las matemáticas. Y sin embargo no creo que baste su investigación para explicar el brillo que irradiaba de él, ni su tremenda influencia. Gauss y Riemann, por mencionar otros dos hombres de Göttingen, fueron matemáticos de más talla que Hilbert, y sin embargo su impacto inmediato sobre sus contemporáneos fue indudablemente menor. No hay duda de que esto se debe en parte a las cambiantes condiciones de los tiempos, pero probablemente fue más determinante el carácter de estos hombres. Hilbert estaba lleno de entusiasmo por la vida, por relacionarse con otra gente, y por disfrutar intercambiando ideas científicas. Tenía su propia y libre manera de aprender y enseñar … a través de conversaciones … en largas caminatas a través de los bosques que rodean Göttingen, o, en los días lluviosos, como peripatéticos, en el paseo cubierto de su jardín. Su optimismo, su pasión espiritual y su fe inquebrantable en el valor de la ciencia eran irresistiblemente contagiosos.

Esta pasión y ese optimismo se reflejan también en la florida retórica de sus discursos, por ejemplo en el célebre “wir müssen wissen, wir werden wissen” [debemos saber; llegaremos a saber], o en sus referencias al “paraíso de Cantor”, que de paso demonizaban a figuras como Kronecker o Brouwer.

Pero también fue importante el tiempo y el lugar: la pequeña pero poderosa universidad de Göttingen, sobre todo en los “días de gloria” anteriores a 1914, con un impresionante grupo de profesores entre los que descollaban Hilbert y Minkowski, con numerosos discípulos de alto nivel y visitantes extranjeros, todo ello orquestado por ese gran político científico que fue Felix Klein. Fue Klein quien a lo largo de años, ganándose la confianza del poderoso ministro de Educación Althoff, convirtió a Göttingen en el centro matemático más importante del mundo, atrayendo a numerosísimos visitantes. Gracias a él se crearon allí Institutos dedicados a cuestiones de física, matemática aplicada y mecánica, aerodinámica, etc. Weyl lo recuerda así: “Klein reinaba sobre nosotros como un dios distante, ‘divus Felix’, desde arriba de las nubes”.