JOVEN Y REVOLUCIONARIO:

No siempre los grandes matemáticos están alejados de las controversias políticas de su época. Unos se han acercado a las mismas desde posiciones completamente reaccionarias (como es el caso de Cauchy), mientras que otros lo han hecho desde un punto de vista revolucionario. Es lo que pasa con Galois, que además ejemplifica cómo se puede influir en el futuro desde la extrema juventud y con una obra que no pasa de algunas decenas de páginas.
Evariste Galois, nació en 1811 en los alrededores de París, en el momento del máximo esplendor del Imperio de Napoleón, en una familia republicana, que sufre las dificultades de la caída en 1814 de Napoleón y la vuelta de la monarquía derrocada en la Revolución de 1789.

Estudió al principio en su casa bajo la dirección de su madre, para ir más tarde a uno de los centros más prestigiosos de París, el Liceo Luis el Grande, donde está en todo su apogeo la contrarrevolución educativa. Tras unos años de estudio descubre las matemáticas durante el curso 1826/27 y le producen un deslumbramiento intelectual de tal calibre que se dedicará con toda su energía a las mismas, ‘olvidando’ el resto de las materias. Tiene además la suerte de encontrar en el Liceo un gran profesor de matemáticas, M. Richard, al tanto de los últimos avances de las mismas, que reconoce el genio de Evariste para las matemáticas y le ayuda en sus estudios, y hasta le presenta en la ‘sociedad’ matemática. Richard se dio cuenta del valor de los resultados que lograba su alumno y guardó durante toda su vida los manuscritos que le entregaba Evariste y los dejó a su muerte a otro gran matemático, Ch. Hermite, pensando que también él sabría apreciar su valor (hoy se conservan en la Biblioteca del Instituto de Francia). Incluso logra que a los 17 años (en 1829) le publiquen un artículo (‘Demostración de un teorema sobre las fracciones continuas periódicas’) en la revista ‘Annales de mathématiques pures et appliquées’.
Los elogiosos juicios de Richard constan en las calificaciones que escribe sobre Evariste durante el curso: “Este alumno tiene una destacada superioridad sobre todos sus compañeros”, y también “este alumno no trabaja más que las partes superiores de las matemáticas”.

Intentó Galois entrar en la Escuela Politécnica, el centro de estudios científicos más prestigioso de Francia, sin el curso de preparación habitual, en el que se aprendía sobre todo las manías de los profesores y las triquiñuelas técnicas, pero suspendió el examen. Antes de su segundo y definitivo examen (solo había dos posibles intentos) sucedieron unos hechos que le causaron una gran impresión: el suicidio de su padre, tras una depresión provocada por una campaña de calumnias llevada a cabo por los elementos mas reaccionarios de su localidad. Pocos días después tiene lugar el examen, que la leyenda dice que acabó con el lanzamiento del borrador por parte de Galois a la cabeza de uno de los examinadores, después de hacer un estupendo examen pero sin seguir los caminos habituales y en el que los miembros del tribunal le pusieran sencillas objeciones que él interpretó como un intento de humillarle. Se cerró así las puertas de esa escuela y se tuvo que conformar con entrar en la Escuela Normal (incluso utilizando recomendaciones), donde se formaba a los futuros profesores de secundaria, un centro de mucho menor nivel que la Politécnica. Allí entró en contacto con grupos de lo que hoy llamaríamos ‘extrema izquierda’, que luchaban por el derrocamiento de la monarquía de los Borbones y la vuelta de la república.

No pudo participar en la Revolución de 1830 porque el Director de la Normal encerró a los alumnos en el centro, y después del final frustrado de la misma con la llegada al trono de Luis Felipe continuó su lucha por la Revolución, lo que le llevó a ser expulsado de la Escuela y más tarde detenido y llevado a prisión, antes de cumplir 20 años. Fue absuelto y salió de la misma, pero pocos días después fue detenido de nuevo y ya estuvo en la cárcel casi 10 meses. Durante esos años tan agitados no dejó de trabajar en diferentes aspectos matemáticos y de redactar Memorias , que enviaba a la Academia de Ciencias de París, formada por una importante constelación de grandes matemáticos, pero pagados de sí mismos, que no le entienden y que tampoco hacen ningún esfuerzo por tratar de hacerlo. Alguna de esas Memorias enviadas a la Academia la ‘pierde’ Cauchy , como ya había hecho con otro trabajo enviado años antes por Abel, y todas son rechazadas como no comprensibles (el Informe de Poisson sobre una de ellas termina con “Comoquiera que sea, hemos hecho todos los esfuerzos por comprender la demostración del Sr. Galois. Sus razonamientos no son ni bastante claros ni bastante desarrollados para que hayamos podido juzgar su exactitud y no estaríamos incluso en disposición de dar una idea de ellos en este Informe. El autor anuncia que la proposición que es el objeto especial de su Memoria es una parte de una teoría general susceptible de muchas otras aplicaciones. A menudo sucede que las diferentes partes de una teoría, iluminándose mutuamente, son más fáciles de entender en su conjunto que aisladamente. Se puede pues esperar que el autor haya publicado su trabajo completo para formarse una opinión definitiva; pero en el estado en que está la parte que ha sometido a la Academia, no podemos proponeros de darle vuestra aprobación”).

Al poco de salir de la cárcel por segunda vez, en medio de problemas económicos por su supervivencia tiene un duelo a pistola por razones no dilucidadas (sea una provocación policíaca, sea por un amor despechado o bien un suicidio disfrazado de asesinato provocado por la policía política para intentar sublevar a las masas) que finaliza con una herida en el abdomen que le provoca la muerte el 31 de mayo de 1832, cuando aún no había cumplido 21 años.

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Página de la carta-testamento escrita la noche del 29 de Mayo de 1832, dirigida a su amigo A. Chevalier.

Dedicó su vida a la Revolución (que no pudo ver, pero a la que contribuyó con entusiasmo juvenil) y a cambiar las Matemáticas, en la que efectivamente (pasados algunos años como veremos más adelante) provocó una revolución que se desencadenó tras su muerte prematura..

Galois y la enseñanza

Galois fue muy crítico con un sistema educativo en que lo más importante era repetir los resultados ajenos y que dificultaba la iniciativa personal y la imaginación. Su punto de vista es completamente actual y muchos de sus párrafos parecen haber sido escritos hoy mismo.

En los primeros días del año 1831 publicó en la ‘Gazette des Ecoles’ el artículo “Sobre la enseñanza de las ciencias” en el que pone en cuestión la enseñanza de las materias científicas en su país. Hay que tener en cuenta que en ese momento Francia estaba a la cabeza de Europa en todas las disciplinas científicas y su organización escolar era motivo de envidia por el resto de los países que iban a copiarlo en los próximos años (o estaban haciéndolo ya). Por eso hay que destacar la clarividencia de Galois, que quería ir más allá. Entre otras cosas dice:

“De entrada, en las ciencias las opiniones no cuentan para nada; los puestos no tendrían que ser la recompensa de una u otra manera de pensar en política o en religión. (...) No podía pues ver sin dolor e indignación que, en el gobierno de la Restauración, se transformaban los puestos en el botín de los que más ideas monárquicas y religiosas ofrecían. (...) En [los colegios] la mayor parte de los alumnos de matemáticas se dirigen a la Escuela Politécnica; ¿qué se hace para ponerlos en disposición de lograr ese objetivo? ¿Se busca hacerles concebir el verdadero espíritu de la ciencia exponiéndoles los métodos más simples? ¿Se procede de forma que el razonamiento se vuelva para ellos una segunda memoria? ¿No hay, por el contrario, cierto parecido con la forma en que se enseña el francés y el latín?

¿Hasta cuándo los pobres jóvenes estarán obligados a escuchar o repetir todo el día? ¿Cuándo se les dejará tiempo para meditar sobre ese montón de conocimientos, para coordinar esa multitud de proposiciones sin continuación, de cálculos sin relación? ¿No tendría alguna ventaja el exigir a los alumnos los mismos métodos, los mismos cálculos, las mismas formas de razonamiento, si eran a la vez los más simples y los más fecundos? Pero no, se enseña minuciosamente teorías truncadas y cargadas de reflexiones inútiles, mientras que se omiten las proposiciones más simples y más brillantes del álgebra; en lugar de eso, se demuestra con gran coste de cálculos y con razonamientos siempre largos, y a veces falsos, corolarios cuya demostración se hace por sí sola.
Por otra parte, ¿por qué los examinadores no hacen las preguntas a los candidatos mas que de una manera enredadora? Parecería que temieran ser entendidos sobre lo que preguntan (...) El alumno está menos ocupado en instruirse que en aprobar su examen”.

Galois y las matemáticas

En el renacimiento italiano se encuentra la fórmula para resolver la ecuación general de cuarto grado. Es una expresión en las que solamente intervienen los coeficientes de la ecuación y raíces hasta de exponente cuarto. Este resultado corrobora lo que sucede con las ecuaciones de grado 2 y 3 (en cuya solución general hay raíces de exponentes 2 y 3)

Acababa el siglo XVIII cuando Gauss (1777-1855) presentó en 1799 su tesis doctoral en la que aparecía el ‘teorema fundamental del álgebra’ que establece de forma rigurosa que toda ecuación polinómica con coeficientes reales se puede descomponer de forma única como producto de factores de primero y segundo grados, y en consecuencia que toda ecuación de ese tipo tiene al menos una raíz (real o imaginaria). Este era un resultado general pero que no establecía el método efectivo de hallar esas raíces.
Vistos los datos anteriores era una hipótesis razonable pensar que una ecuación de quinto grado tendría cinco soluciones reales o imaginarias, diferentes o repetidas; pero no se había encontrado la fórmula para encontrarlas, aunque, caso de que la hubiera, también era razonable suponer que contendría raíces de grado cinco. Y, generalizando un poco, que las de grado seis se resolverían con raíces sextas, las de grado siete con raíces de ese mismo grado y así sucesivamente. Era cuestión de ponerse a trabajar para encontrar la solución de la ecuación de quinto grado y después seguir. Se dedicaron a ello muchos grandes matemáticos de la época, como Lagrange (1736-1813), Cauchy (1789-1857) y sobre todo Ruffini (1765-1822) que fue el que más avanzó hacia el resultado final, aunque no llegó a completarlo. Esa sería la labor de Abel (1802-29) que el año 1823 (cuando tenía 21 años) obtuvo el resultado definitivo: la ecuación general de quinto grado no era resoluble por radicales, ni de índice cinco ni de ningún otro. Con eso se daba un paso importante al cerrar el problema de la búsqueda de fórmulas de resolución. Todavía quedaban otros aspectos importantes por abordar, en particular las condiciones que debían cumplir ecuaciones particulares para que sí se pudieran resolver.

La forma en que Abel ‘resolvió’ el problema de la resolución de la ecuación general de quinto grado demostrando su imposibilidad es la primera vez en la historia que un problema tenía este final, y sería el inicio de una larga lista de imposibilidades (con la destacada de la indecibilidad del lenguaje aritmético, establecido por Gödel en 1931). Hasta ese momento cuando un problema no se sabía resolver se consideraba que es que no se seguía el camino apropiado o que no se tenían los instrumentos necesarios para resolverlo, pero se tenía el convencimiento de que antes o después se lograría resolver.

La contribución genial de Galois a la teoría de resolución de ecuaciones fue la determinación de las condiciones en las que una ecuación es resoluble por radicales, lo que da como consecuencia que para todo n > 4 haya ecuaciones polinómicas que no son resolubles por radicales.

Una página de las “Mémoire sur les conditions de resolibilité des equations par radicaus” de la publicación de las obras de Galois de1897

En esencia el resultado de Galois sobre resolubilidad por radicales de una ecuación tiene que ver con una serie de subgrupos (de un tipo especial llamados normales) del grupo de permutaciones, cada uno subgrupo del anterior, asociados a lo que llama Galois resolventes de la ecuación. Y este resultado es que una ecuación es resoluble por radicales si y solo si los índices de todas las etapas de esa sucesión de subgrupos son números primos. Eso es lo que pasa en todas las ecuaciones de grado 4, puesto que el orden de S(4) es 24, y nos lleva a una serie de subgrupos de índices 3,2,2 y 2, todos primos. En el caso de la ecuación general de grado n > 4, S(n) tiene n! elementos y nos lleva a una serie de dos subgrupos de índices 2 y n!/2, y este último número nunca es primo, luego la ecuación general de grado n > 4 no es resoluble por radicales.

Basten las pocas líneas anteriores para mostrar la aportación de Galois a la teoría de resolución de ecuaciones, que fue de tal calibre que acabó con el propio objeto del álgebra, pasando a partir de sus resultados a poner el acento en el estudio de las estructuras algebraicas. Así comienza lo que aún hoy se conoce como ‘matemáticas modernas’, de las que la ‘Teoría de Galois’ sigue siendo una parte plenamente vigente.

Fue tan avanzado que sus resultados, que redacta la noche anterior al duelo y encarga a su amigo A. Chevalier que publique, nadie los entiende durante un tiempo. Tendrían que pasar doce años para que vuelvan a ver la luz, cuando Liouville en 1843 anuncia en la Academia, que tan poco caso le hizo unos años antes, que había encontrado entre los papeles de Galois una solución concisa, pero tan exacta como profunda de este bello problema: ‘Dada una ecuación de grado primo, decidir si es o no es resoluble por radicales’. Y tres años más tarde, el mismo Liouville publica en la revista que dirige (‘Journal de mathématiques pures et appliquées’) una reedición de los artículos de Galois junto con sus dos memorias inéditas. Aunque tardía, su repercusión y su influencia fueron inmensas en las matemáticas desde la segunda mitad del siglo XIX hasta nuestros días

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