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vez un Problema |
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| Historia
de las Matemáticas |
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| Historia
de las Matemáticas a través de la imagen: |
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| Fermat y Descartes |
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Aunque
Fermat sea más conocido por su famoso "último
teorema" que ha traído en vilo a los matemáticos
durante más de 3 siglos, es junto a Descartes
el padre de una aportación mucho más importante,
la geometría analítica. Ambos estuvieron
a un solo paso de algo mucho más notable: la
creación de cálculo diferencial. |
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Rene Descartes
(1596-1650) |
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Pierre
de Fermat |
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"La Geometría"
Los "torbellinos" del sistema solar.
Descartes |
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"La
Geometría" es uno de los tres ensayos que acompañan
el Discurso del Método, y del que son un ejercicio
de aplicación sistemática. Los otros dos ensayos
son "Los Meteoros" y "La Dióptrica"
"La
Geometría" está dividida en
tres "Libros".
El primero de ellos trata "Sobre los problemas
que pueden construirse empleando solamente círculos
y líneas rectas". El segundo "Sobre
la naturaleza de las curvas". El tercero
"Sobre la construcción de problemas
sólidos y supersólidos".
Su mayor
aportación, es la combinación de
recursos algebraicos y geométricos, para
la resolución de problemas cuyo enunciado
puede venir dado en forma de problema geométrico
o algebraico.
La historia
ha simplificado esta combinación reduciéndola
a una simple traducción de curvas geométricas
a ecuaciones algebraicas, pero Descartes en el
libro tercero de la Geometría se recrea
justo en el viaje en sentido contrario.
En él
descubre la regla de la alternancia de los signos
de los coeficientes de una ecuación:
Una ecuación tiene a lo sumo tantas raices
"verdaderas" (positivas) como cambios
de signos entre los coeficientes y tantas "falsas"
como permanencias de signo.
Y demuestra
que toda ecuación de cuarto grado es la
intersección de una parábola con
una circunferencia |
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| Fermat contagió
esta fiebre de buscar números amigos a su colega
y competidor Descartes que encontró estos otros
dos aún más sorprendentes:
9.363.584 y 9.437.056 |
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Pierre de Fermat |
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Fermat
nació en los albores del siglo XVII, en
1601 en Beaumont, un pueblo del suroeste de Francia.
Su padre era un rico comerciante de pieles lo
que le permitió realizar sus estudios de
leyes en la Universidad de Toulouse, donde nunca
destacó en Matemáticas.
No publicó
en su vida ningún libro sobre matemáticas.
De hecho llegó a escribir a Pascal:
"No
quiero que aparezca mi nombre en ninguno de los
trabajos considerados dignos de exposición
pública" |
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La Aritmética de
Diofanto comentada por Fermat |
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La
Aritmética constaba de 13 libros de los
cuales sólo seis sobrevivieron a la destrucción
de la gran biblioteca de Alejandría, primero
por los cristianos y luego por los musulmanes.
En 1621 aparece en Francia una traducción
al latín de estos seis libros, realizada
por Bachet, otro aficionado a los acertijos matemáticos.
Este libro se convertiría en el libro de
cabecera de Fermat durante muchos años.
En él Diofanto
propone más de cien problemas numéricos
y da brillantes soluciones a todos ellos
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Los números
amigos : Los
pitagóricos ya habían observado una rara
relación entre los números 220 y 284.
Relación bastante sutil por cierto.
Los divisores de 220 son: 1,
2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110
Los de 284 son: 1, 2, 4, 71
y 142.
En apariencia no tiene mucho
parecido, salvo por este curioso hecho:
Si sumamos todos los divisores
de 220:
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 obtenemos
284, el segundo número.
Y si sumamos los de 284:
1 + 2 + 4 + 71 + 142 obtenemos el primero 220
Con suma paciencia y una admirable
visión numérica, tras más de dos
mil años, Fermat va a descubrir la segunda pareja
de números amigos.
Unos amigos mucho más complicados que 220 y 284.
Se trata de estos dos números:
17296 y 18416.
Descubre
además una regla general (conocida por ibn Qurra):
"Si
q = 3·2 p-1-1;
r = 3·2 p - 1; s = 9·2 p-1-1
entonces
n = 2 p·q·r
y m = 2 p·s
son números amigos"
17296
corresponde a los valores de p = 2; q = 5 y r = 11
18416 corresponde
a los valores de p = 2; s = 71
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Algunos
de sus resultados en Teoría de Números
Así descubrió y demostró que el
número 26 es el único que esta comprendido
entre dos enteros, que son respectivamente un cuadrado
25 (5 al cuadrado) y un cubo 27 (3 al cubo)
52 <
26 < 33
Hay
dos grandes familias de números primos:
Unos son de la forma 4
n + 1: 5, 13, 17, 29, 37, 41...
Los otros de la forma 4 n
+3: 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47...
Fermat descubrió
que todos los de la primera familia se pueden escribir
como la suma de dos cuadrados.
Pero en cambio,
NINGUNO, de los de la segunda familia se puede descomponer
en la suma de dos cuadrados.
El
pequeño teorema de Fermat :
Si a es un número natural cualquiera, por ejemplo
9 y p un número primo que no es divisor de a, por
ejemplo 5; siempre se cumple que p, es este caso 5, es
divisor exacto de a p-1 -1, en nuestro caso
95 - 1 - 1. En
efecto 94 - 1 = 6561 - 1 = 6560 que es divisible
por 5
6560 : 5 = 1312.
Esta brillante joya numérica
se conoce como el "pequeño teorema de Fermat".
Y, cómo no, fue demostrado
por Euler cuando tenía 29 años.
Su
gran fallo:
Fermat afirmó que todos los números de la
forma 2(2)n + 1 son números primos
Euler se encargaría de
demostrar que por una vez Fermat estaba equivocado:
Si n = 5 232 + 1
= 4.294.967.297 = 641 x 6.700.417
no es primo
La Observación es el
enunciado del último teorema
X n + Y n = Z n
Es imposible
encontrar la forma de convertir un cubo en la suma de
dos cubos, una potencia cuarta en la suma de dos potencias
cuartas, o en general cualquier potencia más
alta que el cuadrado en suma de dos potencias de la
misma clase; para este hecho he encontrado una demostración
excelente. El margen es demasiado pequeño para
que dicha demostración quepa en él"
Pierre de
Fermat
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Euler
lo demostró para n = 3 y n = 4
Dirichlet y Legendre para n = 5
Lamé para n = 7
Kummer para todos los primos menores que 100 salvo
para n = 37, 59 y 67 |
| Wiles. En 1994 demostró
al fin el último teorema de Fermat |
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Andrews
Wiles |
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El
25 de octubre de 1994 es un día que pasará
a la historia de las Matemáticas.
Ese día un joven matemático inglés
Andrews Wiles presentó dos manuscritos
- unas 130 páginas en total - que contenían
la demostración del Último Teorema
de Fermat |
"La solución
de un problema legendario conmociona el mundo
de las matemáticas" |
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Wiles,
tuvo que utilizar unas técnicas matemáticas
descubiertas a lo largo de los siglos XIX y XX,
inaccesibles por su complejidad para la mayoría
de los matemáticos actuales. Por supuesto
muy alejadas de los conocimientos matemáticos
de la época de Fermat. |
"Modular
elliptic curves and Fermat's Last Theorem" |
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El último teorema
de Fermat demostrado |
En
la época de Fermat y Descartes un aristócrata
inglés va a patentar un poderoso método
de cálculo, sin duda el más popular
de la historia: los logaritmos. |
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Tablas
de logaritmos de Neper |
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