Aun así, tenemos constancia
de algunas contribuciones decisivas de Eudoxo
a la astronomía y a la geometría.
Según fuentes fiables, Eudoxo inició
la vía de la astronomía matemática
griega clásica, con un modelo geométrico
de esferas homocéntricas que trataba
de dar cuenta y razón de ciertos fenómenos,
como las trayectorias erráticas de los
planetas, dentro del marco de una directriz
o principio: los movimientos de los cuerpos
celestes han de ser circulares y regulares,
y a partir de un supuesto geocéntrico:
la tierra ocupa el centro del universo; un desiderátum
añadido era la simplicidad de la construcción.
El modelo no constituía un sistema porque
consideraba un juego de esferas en rotación
para cada caso: tres para el sol y la luna,
cuatro para cada uno de los planetas conocido.
El desafío de los planetas era acuciante:
presentaban no sólo cambios de velocidad,
puntos estacionarios y desviaciones de la eclíptica,
sino retrogradaciones, cuya explicación
llevaría a Eudoxo a introducir su famosa
hipopede (traba de caballería en forma
de 8) o lemniscata esférica. La hipopede
resulta del movimiento combinado de las dos
esferas más internas: el periodo de rotación
del planeta sobre esta figura corresponde al
periodo sinódico del planeta -el tiempo
que le lleva recuperar la misma posición
con relación al sol-, mientras que el
de rotación sobre la esfera que lo porta
corresponde a su periodo sideral -el tiempo
preciso para llegar a situarse bajo la misma
estrella fija-.
Con todo, el centro de cada
uno de estos tinglados de esferas, independientes
entre sí y dispuestos para cada planeta,
es el mismo: la tierra. La construcción
de Eudoxo envuelve intersecciones más
complejas que las consideradas por Arquitas
al plantearse el problema de hallar dos medias
proporcionales, pero discurre en una línea
similar, pues la hipopede está generada
por la intersección de una esfera con
un cilindro de revolución tangente y
por la de la esfera o el cilindro con un cono
cuyo eje es paralelo al del cilindro. Hoy cabe
discutir el estatuto real –es decir físico–,
o representativo –meramente geométrico–,
que Eudoxo confería a sus esferas y,
en consecuencia, el propósito más
explicativo o sólo descriptivo de su
modelo: a la interpretación realista
tradicional, de raíz aristotélica,
se oponen consideraciones como las expuestas
en [12].
En geometría, algo sabemos tanto de su
contribución decisiva a la teoría
clásica de la proporción (Aristóteles,
Segundos Analíticos, 14a 17-25;
Euclides, Elementos,
V, escolio 1; Proclo, In I Euclidis Comm., 55.18-23),
como de la prueba de dos teoremas avistados
por Demócrito: el volumen de una pirámide
es un tercio del volumen de un prisma de su
misma base y altura; el volumen de un cono es
un tercio del volumen de un cilindro de su misma
base y altura (Arquímedes, prefacios
de Sobre la esfera y el cilindro
y del Método).
Eudoxo avanza una teoría general que
vendrá a sustituir las teorías
previas sobre razones y proporciones (cf. [3],
[5], [8]): la aritmética, incapaz
de hacerse cargo de las magnitudes no conmensurables
descubiertas en el s. V; o la antiferética,
aplicable a construcciones geométricas
y a la determinación de casos de no conmensurabilidad
–en la línea de las investigaciones
de Teodoro y Teeteto (cf. Platón, Teeteto,
147d-148b)–, pero sólo capaz de
habilitar pruebas por separado para las magnitudes
conmensurables y las inconmensurables y para
sus diversos campos de aplicación –números,
líneas, áreas– (cf. [5]);
[10], en cambio, discrepa de esta limitación).
Las magnitudes que considera Eudoxo son todas
aquellas que, siendo homogéneas, pueden
guardar razón entre sí y satisfacer
la condición: si A < B, hay un número
(entero positivo) n tal que nA > B -condición
explicitada con distintos matices por Euclides
y por Arquímedes-. La relación
de proporción -es decir, la relación
de guardar la misma razón- no es una
relación diádica de igualdad entre
razones, sino una relación tetrádica
entre magnitudes, representable como
‘A:B :: C:D’, que obedece al siguiente
criterio. Sean m, n números (enteros
positivos) cualesquiera.
Entonces, A:B :: C:D si y sólo si (i)
siempre que mA > nB, también mC >
nD; (ii) siempre que mA = nB, mC = nD; y (iii)
siempre que mA < nB, mC < nD.
También podría haber deducido
Eudoxo unas propiedades como:
Si A:B :: C:D, entonces [a] A:C :: B:D, alternancia;
[b] B:A :: D:C, inversión; [c] (A+B):B
:: (C+D):D, composición; [d] (A-B):B
:: (C-D):D, separación.
Esta base teórica fue luego reconstruida,
desarrollada e instituida por la teoría
de la proporción del libro V de los Elementos
de Euclides. Siglos
más tarde, asistiremos a una asociación
del criterio de proporcionalidad de Eudoxo con
la idea de cortadura de Dedekind , aunque las
magnitudes consideradas por Eudoxo sean, en
su conjunto, irreducibles a los números
-en el sentido griego antiguo-, y esta matemática
griega ignore la teoría de los números
reales.
Las pruebas de los teoremas sobre el volumen
de la pirámide y del cono envuelven,
a su vez, el uso de un método de “convergencia”
que descansa en la teoría de la proporción
y en ciertos supuestos implícitos. De
unos supuestos parecidos ya da fe Aristóteles:
«al agregarle siempre algo a lo finito
excederemos toda magnitud finita (1) y, parejamente,
al sustraerle algo, tendremos que llegar a una
magnitud menor que una finita dada (2)»
(Física, 266a 2-4), quizás al
tanto de las pruebas de Eudoxo.
El supuesto (2) será formulado y sentado
como un lema de bisección por Euclides
(Elem., X, 1); de la expresión
precisa de (1) se ocupará, a su vez,
Arquímedes (pref. de La cuadratura
de la parábola, Sobre la esfera...,
Sobre las espirales).
El método nace sabedor de los infructuosos
esfuerzos de Brisón y de Antifonte por
cuadrar el círculo, si bien pudo inspirarse
en su heurística aproximativa. Se aplica
a la determinación de áreas y
volúmenes por equivalencia o proporción
con unas magnitudes poligonales dadas. La idea
eudoxiana es determinar la magnitud de una figura
curvilínea, F, mediante la construcción
de una serie monótona de polígonos
inscritos –a la que posteriormente se
añadirá a veces la construcción
de otra decreciente de polígonos circunscritos–,
que convergen en una magnitud equivalente o
proporcional a la de F en el supuesto de que,
a tenor de (2), sus diferencias pueden hacerse
menores que cualquier magnitud finita dada.
Entonces, al amparo tácito de un principio
de tricotomía, obra la reducción
al absurdo de las hipótesis de que la
magnitud de la figura curvilínea sea
mayor, o sea menor, que la poligonal construida.
Este recurso permite una demostración
efectiva y finitista de su equivalencia o proporción
–pero no justifica la romántica
presunción de una especie de “horror”
griego al infinito 
