Los problemas en torno a la personalidad de Euclides se extienden a la autoría de los escritos que nos han llegado bajo su nombre. Hoy suponemos que escribió por lo menos una decena de obras, pero sólo contamos con dos acreditadas: los Elementos y los Datos -e incluso en el caso de los Elementos, en especial, hemos de atenernos a ediciones y variantes posteriores del original, una historia apasionante (cf. [4], introd.) todavía en revisión–.

Los Elementos, en la edición estándar [3], constan de 140 asunciones básicas (130 definiciones, 5 postulados, 5 nociones comunes), 465 proposiciones derivadas (93 problemas, 372 teoremas), y unos pocos resultados auxiliares (19 porismas, 16 lemas). Cubren diversos campos de la matemática griega: la geometría plana (libros I-IV); la teoría de la proporción (V-VI); la teoría aritmética (VII-IX); la conceptualización de la conmensurabilidad e inconmensurabilidad, y la clasificación de rectas expresables y no expresables en términos de razones (X); la geometría del espacio (XI-XIII).

"Los seis libros primos de la Geometría de Euclides" (Sevilla, 1576). Primera edición española de los Elementos de Euclides

Dentro de ellos hay núcleos de especial relieve como el tema de las paralelas en geometría, o el estudio de los primos relativos en aritmética, o el desarrollo sistemático de la proporción como una relación tetrádica entre magnitudes en el marco de una teoría que reelabora el legado de Eudoxo:

«Se dice que guardan razón entre sí las magnitudes que, al multiplicarse, pueden exceder una a otra»

(V definición 4; cf. la condición o postulado de Eudoxo),

«Se dice que una primera magnitud guarda la misma razón con una segunda que una tercera con una cuarta, cuando cualesquiera equimúltiplos de la primera y la tercera excedan a la par, sean iguales a la par o resulten inferiores a la par que cualesquiera equimúltiplos de la segunda y la cuarta, respectivamente y tomados en el orden correspondiente» (V def. 5; cf. el criterio de proporcionalidad de Eudoxo).

La teoría incluye además otros supuestos precisos: (i) un criterio de no proporcionalidad, fundado en la relación de guardar mayor razón (def. 7), que a su vez depara un orden de las magnitudes consideradas; (ii) la existencia de un cuarto término proporcional (tácita en V 18, luego probada para un caso particular en VI 12). Por añadidura, sienta las bases del método de convergencia al establecer, a partir de V def. 4, el lema de bisección:

«Dadas dos magnitudes desiguales, si se quita de la mayor una [magnitud] mayor que su mitad y, de la queda, una magnitud menor que su mitad y así sucesivamente, quedará una magnitud que será menor que la magnitud menor dada»

(X 1; cf. el lema de continuidad de Arquímedes

Tampoco faltan, desde luego, resultados célebres o notables: e.g. las pruebas del afamado “teorema de Pitágoras” (I 47, V 31); un algoritmo antiferético para hallar la medida común máxima de dos números (VII 1, 2); una primicia de la descomposición única de un número en sus factores primos (IX, 4); la prueba de la no finitud de los números primos (IX 20); o, en fin, la demostración de que dos magnitudes conmensurables guardan entre sí la misma razón que un número con un número (X 5) -siendo números los enteros positivos-; amén de resultados y ejercicios sobre áreas y volúmenes, inscripciones y circunscripciones, etc., que durante más de 2000 años han familiarizado con la matemática elemental y su rigor demostrativo a generaciones y generaciones de escolares.

Los Datos, la segunda obra acreditada de que hoy disponemos, bien podría ser un texto auxiliar o complementario de los Elementos: tiene que ver con los libros I-IV y con la práctica del análisis geométrico como técnica de resolución de problemas: en el supuesto de que ciertas partes de una figura estén dadas -por lo que respecta a su posición, magnitud, etc.-, muestra la manera de determinar otras partes de la figura en ese mismo respecto.

Hay luego recensiones o versiones discutidas de otros dos trabajos de Euclides: Fenómenos, obra de astronomía teórica compuesta sobre una base de geometría esférica más bien elemental, y Óptica, un estudio “more geometrico” de la perspectiva y de la visión directa –por contraste con la geometría de los rayos reflejados, catróptica, o de los rayos refractados, dióptrica–, que se vio oscurecido y postergado ante las mayores luces de la Óptica de Tolomeo (s. II d.n.e). Los demás escritos de Euclides pueden darse, hoy al menos, por perdidos. Hay una versión árabe y otra latina de Sobre divisiones de figuras, obra quizá vinculada a la corriente calculística y operatoria de la matemática griega –una corriente “guadiana” que desmiente la identificación simplista de esta matemática con la conceptualización teórica y la deducción axiomática–.
Pero nada queda de unos Lugares relativos a la superficie, unos Porismas, unas Cónicas, o de un ensayo propedéutico Sobre los paralogismos. Por lo demás, se le han atribuido otros restos dispares (una Catróptica, una Sección del canon, una Mecánica), cuya autoría euclídea parece hoy descartada.

En vista de la situación, quizá sea más fácil apreciar qué no es Euclides que saber quién fue Euclides. Por ejemplo, según un viejo tópico, Euclides era platónico en las ideas y aristotélico en el método: son especulaciones de las que tendrá que hacerse responsable el propio intérprete, pues los textos euclídeos acreditados son, en tales respectos filosóficos, mapas mudos.
En cambio, los Elementos sí son bastante elocuentes sobre las tradiciones matemáticas de los ss. V-IV (cf. [11], IV, pp. 269 ss.): sistematizan la teoría disponible de los números, la geometría elemental –a partir de una tradición de elementos geométricos que desaparecen tras el tratado euclídeo– y la teoría de la proporción generalizada por Eudoxo; ponen orden en los resultados sobre conmensurabilidad e inconmensurabilidad y en las investigaciones de Teteeto acerca de los casos expresables y no expresables en términos racionales; incluso normalizan los usos formularios del lenguaje matemático iniciados en el s. IV –según testimonia Aristóteles y muestra el primer texto matemático griego conservado: Sobre la esfera en movimiento (Autólico de Pitania, ¿360-290?)–. De todo ello no se desprende que la matemática griega anterior a Euclides sea “pre-euclídea”, es decir: siga un camino de perfección que culmina en sus Elementos, según da a entender Proclo. Pero, por otro lado, las virtudes de organización y normalización del texto, así como su fortuna institucional, tampoco justifican otro estereotipo más moderno: el de un Euclides viejo profesor, mero recopilador de unos conocimientos matemáticos básicos en un manual de éxito -por contraste con el genio investigador y creador que representaría Arquímedes-. Pues, según todos los visos, Euclides no es sólo un administrador lúcido y selectivo de un legado heterogéneo, sino un socio que añade su propio capital a la empresa (e.g. a la teoría de las rectas paralelas, al proceder antiferético, a la teoría de la proporción, al método de convergencia, al estudio de los sólidos regulares). De ahí que los Elementos no constituyan tampoco un texto marmóreo, compacto y uniforme: dejan traslucir los diversos grados de desarrollo de ciertas tradiciones geométricas y aritméticas, unas más antiguas y otras más recientes, al tiempo que muestran la contribución, no sólo metódica sino sustantiva, del propio Euclides a su normalización como cuerpos de conocimiento establecido.

En este sentido, lo que más ha llamado la atención es el pórtico axiomatiforme de los Elementos, –la organización tripartita e inédita hasta entonces de las asunciones básicas en definiciones, postulados y nociones comunes–, y el rigor deductivo que gobierna la prueba de las proposiciones derivadas. Así han pasado a la historia como la fundación del método axiomático deductivo. No es un título inmerecido. Pero el excesivo énfasis en este punto puede resultar injusto hacia la riqueza de recursos y el proceder informal de las pruebas de los Elementos (cf. [9] y [12] a este respecto), y puede prestarse a equívocos: los Elementos no hacen axiomática, ni hacen teoría abstracta al modo moderno –ni siquiera en el alto nivel de abstracción de la teoría de la proporción del libro V–. Carecen de las ideas generales de espacio, en geometría, y de sucesión numérica, en aritmética. No contemplan estructuras, sino: [a] unos objetos construibles –el triángulo, el círculo, etc–, o dados –la unidad y los enteros positivos n (n = 2)–; y [b] tres “entidades” o conceptos matemáticos generales –las magnitudes, las proporciones, los números– (cf., por ejemplo, [10] y [8]).

En suma, Euclides es un matemático griego clásico, no un alevín o un remedo de matemático moderno, aunque los Elementos hayan sido una referencia histórica obligada, una especie de paradigma, para los programas de axiomatización “more geometrico”.