Su investigación a través de su mirada

Según su propia opinión, puesta de manifiesto en su trabajo Notice sur les travaux scientifiques, el tema principal de sus numerosos trabajos de investigación (que contabilizan 186 y fueron publicados en el periodo 1893-1947), y sobre el que giran en mayor o menor medida todos los demás, es la teoría de los grupos de Lie. Comenzó trabajando sobre los fundamentos de las álgebras de Lie simples complejas, e introdujo el concepto de grupo algebraico, que no fue seriamente desarrollado antes de 1950. Definió el concepto general de forma diferencial anti-simétrica, con el significado actual; su estudio de los grupos de Lie por medio de las ecuaciones de Maurer-Cartan requirió la utilización de las 2-formas.

En esa época, los sistemas de Pfaff (es decir, las ecuaciones diferenciales de primer orden dadas como 1-formas) estaban en plena efervescencia; la introducción de variables adcionales y formas diferenciales extra proporcionó una formulación bastante general de los sistemas de ecuaciones diferenciales parciales. Una de las aportaciones más brillantes de Cartan fue la incorporación de la derivada exterior, como una nueva operación de naturaleza enteramente geométrica e independiente del sistema de coordenadas.

A partir de estos elementos básicos, grupos de Lie y formas diferenciales, Cartan fue capaz de producir una cantidad ingente de nuevos resultados de investigación, así como nuevas técnicas y métodos que posteriormente se han incorporado a las herramientas básicas de cualquier matemático. En este sentido cabe destacar el método de la referencia móvil. En su obra Travaux anteriormente citada, Cartan divide su investigacion en 15 áreas temáticas, que en la terminología moderna serían las siguientes:

1. Grupos de Lie
2. Representaciones de grupos de Lie
3. Números hipercomplejos, algebras de división
4. Sistemas PDEs, teorema de Cartan-Kähler
5. Teoría de la equivalencia
6. Sistemas integrables, teoría de la prolongación y sistemas en involución
7. Grupos y pseudo-grupos de dimensión infinita
8. Geometría diferencial y referencias móviles
9. Espacios generalizados con grupos de estructura y conexiones, conexiones de Cartan, holonomia y tensor de Weyl
10. Geometría y topología de grupos de Lie
11. Geometría riemanniana
12. Espacios simétricos
13. Topología de grupos compactos y sus espacios homogéneos
14. Invariantes integrales y mecánica clásica
15. Relatividad, espinores

R. Debever (ed.): Elie Cartan-Albert Einstein : letters on absolute parallelism, 1929-1932. Princeton, 1979.

La mayor parte de estos tópicos han continuado siendo investigados por las sucesivas generaciones de matemáticos; sin embargo, mientras que los métodos de Cartan poseían una gran unificación y homogeneización, y una naturaleza geométrica indiscutible, en la mayoría de los trabajos posteriores se han perdido estas características. ..