Prominente matemático francés del siglo XX, nació el 9 de abril en Dolomieu (cerca de Chambéry), en la Saboya francesa, y murió el 6 de mayo en París, Francia. Durante su extensa vida investigadora trabajó en grupos continuos, álgebras de Lie, ecuaciones diferenciales y geometría, proporcionando sus trabajos una síntesis de estas áreas.
Hijo del herrero del pueblo, realizó sus estudios primarios en la escuela de Dolomiu, después continuó en el colegio de Vienne y posteriormente en el liceo de Grenoble. Finalmente entró en el liceo Jeanson-de-Sailly para completar su preparación para la Escuela Normal Superior, donde ingresa en 1888. Siguió las enseñanzas de insignes matemáticos de la época, entre otros, H. Poincaré, E. Picard y C. Hermite, disfrutando de una beca de la Fundación Peccot. Después de obtener su doctorado en 1894, fue profesor en las universidades de Montpellier (1894-1896), Lyon (1896-1903), Nancy (1903-1909) y París (1909-1940)

El mismo año que es nombrado profesor en la Facultad de Ciencias de Nancy (1903), se casa en Lyon con Marie-Louise Bianconi. Sería en Nancy donde nacerían sus dos hijos mayores, Henri (1904) y Jean (1906), convirtiéndose también el primero de ellos en un excelente matemático. Posteriormente la familia aumentaría con otros dos miembros : Louis y Hélène. La familia Cartan pasaría años después enormes vicisitudes, pues varios de sus hijos murieron en trágicas circunstancias; Jean, compositor, murió a la edad de 25 años, mientras que Louis, físico, fue arrestado por los alemanes en 1942 y ejecutado después de 15 meses en cautividad.

Por lo que respecta a la investigación, Cartan se sumó brillantemente a la teoría de grupos continuos que había sido iniciada por Marius Sophus Lie (1842-1899). Su tesis doctoral (1894) puede considerarse una contribución de importancia capital a las álgebras de Lie, y en ella completa la clasificación de las álgebras semisimples que Wilhelm Karl Joseph Killing (1847-1923) había prácticamente encontrado. Posteriormente se volcó en la teoría de las álgebras asociativas e investigó la estructura de estas álgebras sobre los cuerpos de los números reales y complejos. Wedderburn completaría el trabajo de Cartan en este área.

Las representaciones de los grupos de Lie semisimples también atrajeron su atención. Su trabajo es una síntesis asombrosa de teoría de Lie, geometría clásica, geometría diferencial y topología, que se encuentra a lo largo de toda la obra de Cartan. Asimismo, Cartan aplicó el álgebra de Grassmann a la teoría de las formas diferenciales exteriores.

Hacia 1904, Cartan se vuelca en el estudio de las ecuaciones diferenciales, y desde 1916 su investigación está centrada en la geometría diferencial, área en la que publica la mayoría de sus trabajos. El Programa de Erlangen de Felix Klein (1849-1925) había sido considerado inadecuado para describir la geometría por Hermann Weyl (1885-1955) y Oswald Veblen (1880-1960), y en este apartado Cartan jugaría un papel destacado. Examinó las acciones de los grupos de Lie de transformaciones sobre un espacio, desarrollando la teoría de las referencias móviles, que generalizaban la teoría cinemática de Jean G. Darboux (1842-1917).

Cartan contribuyó a la geometría con su teoría de los espacios simétricos, que tiene su origen en los artículos publicados en 1926, donde desarrolla las ideas estudiadas anteriormente por William K. Clifford (1845-1879) y Arthur Cayley (1821-1895), y usa los métodos topológicos desarrollados por Weyl en 1925. Estos trabajos serían completados en 1932.

Sur les groupes de la
gèomètrie hyperspherique, Comm. Math. Helv. 4 (1932), 158-171

Cartan examinó después varios problemas que previamente habían sido estudiados por Henri Poincaré (1854-1912). Por esta época, su hijo Henri Cartan realizaba contribuciones importantes a las matemáticas, y Elie Cartan utilizó muchos de sus teoremas en sus investigaciones. Cartan también publicó varios trabajos sobre la teoría de la relatividad y de los espinores. Sin duda alguna, Cartan puede considerarse como uno de los matemáticos más importantes e influyentes de la primera mitad del siglo XX.

Su investigación a través de su mirada

Según su propia opinión, puesta de manifiesto en su trabajo Notice sur les travaux scientifiques, el tema principal de sus numerosos trabajos de investigación (que contabilizan 186 y fueron publicados en el periodo 1893-1947), y sobre el que giran en mayor o menor medida todos los demás, es la teoría de los grupos de Lie. Comenzó trabajando sobre los fundamentos de las álgebras de Lie simples complejas, e introdujo el concepto de grupo algebraico, que no fue seriamente desarrollado antes de 1950. Definió el concepto general de forma diferencial anti-simétrica, con el significado actual; su estudio de los grupos de Lie por medio de las ecuaciones de Maurer-Cartan requirió la utilización de las 2-formas.

En esa época, los sistemas de Pfaff (es decir, las ecuaciones diferenciales de primer orden dadas como 1-formas) estaban en plena efervescencia; la introducción de variables adcionales y formas diferenciales extra proporcionó una formulación bastante general de los sistemas de ecuaciones diferenciales parciales. Una de las aportaciones más brillantes de Cartan fue la incorporación de la derivada exterior, como una nueva operación de naturaleza enteramente geométrica e independiente del sistema de coordenadas.

A partir de estos elementos básicos, grupos de Lie y formas diferenciales, Cartan fue capaz de producir una cantidad ingente de nuevos resultados de investigación, así como nuevas técnicas y métodos que posteriormente se han incorporado a las herramientas básicas de cualquier matemático. En este sentido cabe destacar el método de la referencia móvil. En su obra Travaux anteriormente citada, Cartan divide su investigacion en 15 áreas temáticas, que en la terminología moderna serían las siguientes:

1. Grupos de Lie
2. Representaciones de grupos de Lie
3. Números hipercomplejos, algebras de división
4. Sistemas PDEs, teorema de Cartan-Kähler
5. Teoría de la equivalencia
6. Sistemas integrables, teoría de la prolongación y sistemas en involución
7. Grupos y pseudo-grupos de dimensión infinita
8. Geometría diferencial y referencias móviles
9. Espacios generalizados con grupos de estructura y conexiones, conexiones de Cartan, holonomia y tensor de Weyl
10. Geometría y topología de grupos de Lie
11. Geometría riemanniana
12. Espacios simétricos
13. Topología de grupos compactos y sus espacios homogéneos
14. Invariantes integrales y mecánica clásica
15. Relatividad, espinores

R. Debever (ed.): Elie Cartan-Albert Einstein : letters on absolute parallelism, 1929-1932. Princeton, 1979.

La mayor parte de estos tópicos han continuado siendo investigados por las sucesivas generaciones de matemáticos; sin embargo, mientras que los métodos de Cartan poseían una gran unificación y homogeneización, y una naturaleza geométrica indiscutible, en la mayoría de los trabajos posteriores se han perdido estas características.