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Los Bourbaki emplearon dos
instrumentos fundamentales para llevar a cabo
sus fines, la axiomática y las estructuras,
tal y como exponen en alguno de sus textos programáticos,
el principal de los cuales es quizá "La
arquitectura de las matemáticas"
(véase la Bibliografía del final).
Para ellos la axiomática, en su versión
moderna, permite la unificación de la
ciencia matemática ayudando a mostrar
las relaciones y conexiones entre las distintas
disciplinas:
"Lo que se propone como fin principal la
axiomática es precisamente lo que el
formalismo lógico, por sí sólo,
es incapaz de suministrar: la inteligibilidad
profunda de las matemáticas...el método
axiomático enseña a buscar las
razones profundas de este descubrimiento, a
encontrar las ideas comunes sepultadas bajo
el aparato exterior de los detalles propios
de cada una de las teorías consideradas,
a discernir estas ideas y llevarlas a la luz".
Y esta tarea de encontrar las ideas comunes
a las distintas partes de la matemática
se realiza ayudándose sobre todo de las
estructuras, de las que en ese artículo
no se ofrece una definición técnica
en regla -lo que sí se hace en el tratado,
pero sin utilizarla apenas después, como
ha analizado en detalle L.Corry en su libro-,
dándose tan sólo una idea general
más o menos vaga, donde se insiste en
que lo que importa no es la naturaleza concreta
de los objetos involucrados, sino los axiomas
de la estructura, e incluso llegan a afirmar
que "las estructuras matemáticas
se convierten, propiamente hablando en los únicos
objetos de las matemáticas", algo
que parece exagerado incluso desde su propio
punto de vista.
Bourbaki
distingue tres clases de estructuras-madre o
fundamentales: las algebraicas, que hacen intervenir
un conjunto con una o varias leyes de composición
dotadas de ciertas propiedades y de las que
son ejemplos los grupos, anillos, cuerpos, espacios
vectoriales, etc; las de orden. basadas en las
relaciones de orden y de las que es ejemplo
la de retículo; y las topológicas.
a las corresponde todo lo relativo a las nociones
de continuidad, límite, siendo ejemplos
los espacios métricos y los topológicos,
etc. Estos tipos de estructuras no son compartimentos
estancos, sino que se combinan dando lugar a
estructuras mixtas como los grupos ordenados,
los grupos topológicos. etc. Por cierto
que Piaget proporcionó un apoyo a tales
distinciones a partir de algunas de sus experiencias
en psicología evolutiva.
El método axiomático aporta una
gran economía de pensamiento, y establece
una comparación con la división
del trabajo de las fábricas:
"Pero la comparación es defectuosa.
El matemático no trabaja maquinalmente,
como el obrero en la cadena. Nunca se insistirá
demasiado en el papel fundamental que presenta,
en sus investigaciones, una intuición
particular -intuición que por otra parte,
como toda intuición, a menudo se equivoca-,
que no es la intuición sensible vulgar,
sino más bien una especie de adivinación
directa -anterior a todo razonamiento- del comportamiento
normal que parece tener derecho a esperar por
parte de entes matemáticos con los que
ha tenido una frecuentación tan prolongada
que se han convertido en entes casi tan familiares
como los del mundo real. Pues cada estructura
lleva en sí su lenguaje propio, cargado
de resonancias intuitivas particulares...
Es decir, menos que nunca la matemática
se reduce actualmente a un juego puramente mecánico
de fórmulas aisladas, más que
nunca la intuición reina soberanamente
en la génesis de los descubrimientos.
Pero dispone hoy en día de las potentes
palancas que la suministra la teoría
de los grandes tipos de estructuras y domina
simultáneamente inmensos campos unificados
por la axiomática, terrenos en los que
antaño parecía reinar el caos
más informe".
El propio Bourbaki se autocritica poniendo adjetivos
como "esquemático" y "estereotipado"
a este modo de proceder. Las estructuras no
son algo fijado a priori, y no excluyen la posible
aparición de otras nuevas (lo que, dicho
sea de paso, no parece que haya sucedido). Y
las observaciones -bien justificadas- de Corry
acerca del olvido de la noción formal
de estructura son compatibles con un empleo
informal que ha sido, en el peor de los casos,
de utilidad a la hora de organizar el taller
de trabajo del matemático.
En cuanto al texto propiamente dicho, las definiciones
y enunciados son precisos y las demostraciones
completas, si bien a veces muy concisas. (Digamos,
de paso, que ello era menos habitual hace 60
o 70 años que ahora, y que tal vez el
propio Bourbaki ha contribuido en parte al cambio).
No se motivan las nociones y conceptos introducidos
y los ejemplos, cuando se dan, no suelen referirse
al "mundo matemático exterior".
No hay figuras -alguna hubo- ni se hace referencia
a otros textos matemáticos. Muchos resultados
conocidos y "aplicaciones" no se han
incorporado al texto, sino que van en las listas
de "ejercicios", a menudo muy difíciles,
incluidas al final de los capítulos.
Hasta aquí la "forma", pasemos
al "contenido". Según Dieudonné,
Bourbaki pretendía "empezando desde
el principio, poner los cimientos de todas las
teorías existentes de la matemática
pura" (primer subrayado de Bourbaki; segundo
nuestro, J.H.), pero sólo unas líneas
después se da una versión mucho
más cercana a la realidad: Bourbaki ha
eliminado, aparte de teorías abstractas
gratuitas sin interés (por las que siente
olímpico desprecio), han quedado fuera
i) Productos finales de teorías
importantes que son ellas mismas callejones
sin salida: por ejemplo, expone la teoría
de Galois, pero no da la aplicación a
la resolución de las ecuaciones de quinto
grado;
ii) Partes de la matemática
que tienen mucho interés pero que no
se prestan a ser formuladas en sus términos;
da como ejemplos la teoría de grupos
finitos y la teoría analítica
de números;
iii) Partes de la matemática
en las que sí tienen un papel importante
las estructuras, pero cuyo avance es tan rápido
(el texto es de 1982) que cualquier presentación
quedaría ya anticuada en el momento de
escribirse: los ejemplos son la Topología
Algebraica, la Topología Diferencial
y la teoría de los Sistemas Dinámicos.
Fuera de lo anterior queda la cuestión,
que al parecer se debatió durante largo
tiempo, de si incluir o no la teoría
de categorías, algo a primera visto muy
afín al grupo.
 Entre
los libros publicados figuran: Teoría
de conjuntos, Algebra, Algebra conmutativa,
Topología general, Integración,
Espacios vectoriales topológicos, Grupos
de Lie,...
La cita anterior se refería a la matemática
pura. Pero continuaba así :
"Nunca se consideró la matemática
aplicada, sobre todo a causa de la falta de
competencia y de interés de los colaboradores;
durante algún tiempo se jugó con
la idea de incluir la probabilidad y el análisis
numérico, pero se desechó enseguida".
Esta ausencia ha sido sin duda uno de los reproches
hechos con más frecuencia y énfasis
a Bourbaki. En otro lugar dice que:
"En la concepción axiomática,
la matemática aparece, en suma, como
un depósito de formas abstractas, las
estructuras matemáticas; y resulta que
ciertos aspectos de la realidad experimental
vienen a moldearse, sin que se sepa muy bien
por qué, en algunas de estas formas,
como por una especie de adaptación previa",
en lo que no parece tanto una explicación
como una forma de quitarse de encima una cuestión
fastidiosa, una actitud que extienden a todo
lo que se refiere a la filosofía de la
matemática.
Por el contrario, sí se ocupan de la
historia. Los libros van seguidos de "notas
históricas", después recopiladas
en el libro "Elementos de historia de las
matemáticas". Estas notas, redactadas
sobre todo por Dieudonné y Weil, de estilo
y longitud muy desiguales, tratan sólo
de las partes de la matemática expuestas
en el tratado. Se ha repetido mucho la acusación
de "presentismo", de historia escrita
desde el presente considerando sólo el
camino hacia las ideas "que han vencido"
y prescindiendo de todas las demás.
Otra actividad ligada al nombre Bourbaki, y
que viene funcionando sin interrupción
hasta hoy, es el Seminario Bourbaki, que tiene
lugar en París, y en el que distinguidos
matemáticos dan seis conferencias exponiendo
algunos de los resultados recientes más
importantes.
Los Bourbaki han dicho a menudo que sus libros
no estaban destinados a la enseñanza
en ninguno de sus niveles (y menos a servir
como libros de texto) sino que eran una especie
de "caja de herramientas" para el
investigador matemático. Sin embargo,
hubo quien no lo entendió así,
y quien escribe padeció en tercero de
carrera un curso sobre algunos capítulos
del Algebra: módulos planos, sucesiones
exactas, etc. ¿ Por qué ?
Su nombre fue asociado igualmente al fenómeno
de las llamadas "matemáticas modernas",
con la modificación durante los años
sesenta de los programas de matemáticas
de la enseñanza secundaria introduciendo
"los conjuntos", y las nociones y
vocabulario de la matemática "estructural".
Aunque ninguno de ellos intervino directamente
en tales actividades y quien más se aproximó
-Dieudonné-rechazó toda relación,
no puede negarse que muchos de los patrocinadores
franceses del movimiento eran partidarios entusiastas
de Bourbaki formados en su lectura.
Todo indica que Bourbaki ha cesado (salvo las
reediciones y el seminario, éste siempre
autónomo) su actividad. ¿Nos dan
los años transcurridos desde sus últimos
libros hasta hoy perspectiva suficiente como
para hacer un balance? Es difícil negar
que la manera de hacer y de escribir la matemática
ha cambiado mucho en los últimos cuarenta
años, y en parte al menos bajo su influencia,
que ha sido mucho mayor en Francia que en otros
países como Estados Unidos o Rusia, y
que ha ido declinando rápidamente en
los últimos veinte años. Parece
innegable su contribución a una cierta
forma de organización de una parte de
la matemática, desde las grandes líneas
hasta cuestiones solo aparentemente secundarias
como la terminología, con el uso informal
de las estructuras, o las notaciones, dos terrenos
en los que tuvieron cierto éxito.
Pero la matemática se hace y expone de
formas que, se diría, van alejándose
todavía más de las bourbakistas
de lo que lo estaban en los sesenta o setenta.
En su artículo programático antes
citado, Bourbaki se refiere a la vida interna
de la matemática así:
"Es como una gran ciudad, cuyos suburbios
no cesan de progresar, de manera un poco caótica,
sobre el terreno circundante, mientras que el
centro de reconstruye periódicamente,
siguiendo un plan cada vez más claro
y una disposición cada vez más
majestuosa, echando abajo los viejos barrios
y sus laberintos de callejuelas para lanzar,
hacia la periferia, avenidas cada vez más
directas, más amplias y más cómodas".
Siguiendo con la metáfora, digamos que
todo sugiere que su arquitectura o, si se prefiere,
su urbanismo -un tanto a lo Le Corbusier, se
diría- han dejado de cultivarse hace
tiempo y no parece vayan a volver. Todo induce
a pensar que Bourbaki fue una respuesta muy
particular a ciertas situaciones y que las que
hoy se presentan requieren, no ya otras respuestas,
sino otro tipo de respuestas  |
