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Bibliografía
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1 La curva de Agnesi
Para definir la curva se considera la circunferencia
de centro (0, a/2) y radio a/2.
Sea AB = a un diámetro de dicha
circunferencia, r la recta que contiene
al diámetro AB, u la recta perpendicular
a r que pasa por A, t
la recta perpendicular a r que pasa
por B, M un punto que recorre
la circunferencia y s la recta que
pasa por M y A. Sea N
el punto de intersección de las rectas
s y t. Entonces:
La curva de Agnesi es el lugar geométrico
de los puntos P que están a
igual distancia de la recta u que el
punto M, y a la misma distancia de
la recta r que el punto N,
cuando M recorre la circunferencia.
Por
tanto, si P tiene como coordenadas
P (x, y), su abscisa x
coincide con la del punto N (x, a)
y su ordenada con la del punto M. Teniendo
esto en cuenta es sencillo deducir que la ecuación
cartesiana de la curva es:
Es una función
par, creciente para x<0
y decreciente para x>0,
por lo que tiene un máximo en el punto
(0, a). Tiene a y=0 como asíntota
horizontal. Es una curva de longitud infinita,
pero cuya área bajo la curva es finita
y vale a 2  .
Ecuaciones paramétricas: Si 
es el ángulo MAB, entonces
x = a· tg
e y = AM· cos,
luego y 2 = AM 2 ·
cos 2 .
Aplicando el teorema del cateto al triángulo
rectángulo AMB se tiene
que AM 2 = ay, por tanto y
2 = ay · cos 2 ,
y si y es distinto de cero:
y = a · cos 2 .
(Para y = 0, como cos
= 0, también se verifica la ecuación).
Luego las ecuaciones paramétricas son:
y llamando t = tg
se obtiene: x = at; y = a/(1+t 2 ).
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Autoras: María Molero
Aparicio, Profesora de Secundaria, Liceo Español
de París.
Adela Salvador Alcaide, Profesora Titular de
Universidad, U. P. Madrid, E. T. S. I. Caminos
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